1. Use substituição trigonométrica pra mostrar que

∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2 + C

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a tan ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = a  sec 2 ⁡ θ

Vamos simplificar a expressão que temos no denominador, pra isso, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

x 2 + a 2 = a 2 tan 2 ⁡ θ + a 2 = a 2 1 + tan 2 ⁡ θ = a 2 sec 2 ⁡ θ = a sec ⁡ θ

Então, vamos substituir isso na nossa integral, daí ficamos com

∫ d x x 2 + a 2 = ∫ a sec 2 ⁡ θ a sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Esta integral é tabelada, podemos resolvê-la rapidamente

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c 1

Agora, precisamos encontrar uma expressão para sec ⁡ θ e tan ⁡ θ . Antes dizemos que

x = a tan ⁡ θ

Então

tan ⁡ θ = x a

Da expressão do denominador, vimos que

x 2 + a 2 = a sec ⁡ θ

Então, temos que

sec ⁡ θ = x 2 + a 2 a

Passo 3

Então, podemos substituir

ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + c = ln ⁡ x 2 + a 2 a + x a + c 1 = ln ⁡ x 2 + a 2 + x - ln ⁡ a + c 1

Como a é uma constante , temos que

c 1 - ln ⁡ a = C

Então

ln ⁡ x 2 + a 2 + x - ln ⁡ a + c 1 = ln ⁡ x 2 + a 2 + x + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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