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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 29

Calcule a integral definida:

int_4^6 (d x)/(x sqrt(x^2 - 4))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x^2 - 4 = x^2 - 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 sec theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,2,sec theta],[d,x,=,2,sec theta,tan theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 4 sec^2 theta -> x^2 - 4 = 4 sec^2 theta - 4 = 4 overset(tan^2 theta)(obrace (sec^2 theta - 1)) = 2^2 tan^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/(x sqrt(x^2 - 4)) = int (2 sec theta tan theta d theta)/(2 sec theta sqrt(2^2 tan^2 theta)) = (1)/(2) int (tan theta)/(tan theta) d theta = (1)/(2) int d theta = (theta)/(2) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Vamos olhar a expressão da tangente no quadrinho inicial e depois usar a função inversa. Olhando lá, nós temos a seguinte relação:

tan theta = (sqrt(x^2 - a^2))/(a) = (sqrt(x^2 - 4))/(2)

E isso implica que theta = tan^(- 1) ((sqrt(x^2 - 4))/(2))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/(x sqrt(x^2 - 4)) = (theta)/(2) + C = (1)/(2) tan^(- 1) ((sqrt(x^2 - 4))/(2)) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_4^6 (d x)/(x sqrt(x^2 - 4)) = (= (1)/(2) tan^(- 1) ((sqrt(x^2 - 4))/(2))|_4^6

= (1)/(2) (tan^(- 1) ((sqrt(6^2 - 4))/(2)) - tan^(- 1) ((sqrt(4^2 - 4))/(2)))

= (1)/(2) (tan^(- 1) ((sqrt(32))/(2)) - tan^(- 1) ((sqrt(12))/(2)))

= (1)/(2) (tan^(- 1) ((4 sqrt(2))/(2)) - tan^(- 1) ((2 sqrt(3))/(2)))

= (1)/(2) (tan^(- 1) (2 sqrt(2)) - underset((pi)/(3))(ubrace tan^(- 1) (sqrt(3))))

int_4^6 (d x)/(x sqrt(x^2 - 4)) = (1)/(2) (tan^(- 1) (2 sqrt(2)) - (pi)/(3))

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_4^6 (d x)/(x sqrt(x^2 - 4)) = (1)/(2) (tan^(- 1) (2 sqrt(2)) - (pi)/(3))

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