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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 26

Calcule a integral definida:

int_0^4 (d x)/((16 + x^2)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x^2 + 4^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 4 tan theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,4,tan theta],[d,x,=,4,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 16 tan^2 theta -> x^2 + 16 = 16 tan^2 theta + 16 = 16 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 4^2 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/((16 + x^2)^((3)/(2))) = int (4 sec^2 theta d theta)/((4^2 sec^2 theta)^((3)/(2))) = int (4 sec^2 theta d theta)/((4 sec theta)^3) = (4)/(4^3) int (d theta)/(sec theta) = (1)/(16) int cos theta d theta

= (1)/(16) ( sen theta ) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 16 tan theta , temos:

int (d x)/((16 + x^2)^((3)/(2))) = (1)/(16) ( sen theta ) + C

Para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 16))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2))) = (x)/(16 sqrt(x^2 + 16)) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^4 (d x)/((16 + x^2)^((3)/(2))) (= (x)/(16 sqrt(x^2 + 16))|_0^4 = (4)/(16 sqrt(4^2 + 16)) - (0)/(16 sqrt(0^2 + 16)) = (1)/(4 sqrt(32)) = (sqrt(32))/(4 * 32) = (4 sqrt(2))/(4 * 32)

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_0^4 (d x)/((16 + x^2)^((3)/(2))) = (sqrt(2))/(32)

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