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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 53

Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x

Passo 1

Opa, tudo certinho 😎?

Nesse exercício, temos que calcular a integral definida

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x .

Expandir o termo x 2 1 + 2 x 3 5 é uma tarefa complicada, né? Apesar do integrando ser um polinômio, fica complicado saber a expressão certinha dele para usarmos as fórmulas dadas na Tabela de Integrais Indefinidas.

🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?

Usando a Regra da Substituição para integrais definidas, que diz o seguinte:

Se g ' x for uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e f for contínua na imagem de u = g x ,   então vale que

∫ a b f g x g ' x d x =   ∫ g a g b f u   d u .

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Precisamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma mais simples, combinado?

Além disso, nessa integral mais simples vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e obter o seu valor.

��️ Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema fundamental do cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f u d u = ∫ f u d u a b

    onde ∫ f u d u é a primitiva da função f , ou seja,

    d d u ∫ f ( u ) d u   = f u .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f u d u =   c ∫ f ( u ) d u .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função u n é a função

∫ u n d x = u n + 1 n + 1 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x ,

observamos que definindo

f x = x 5

e

u = g x =   1 + 2 x 3 ,

então

f g x = 1 + 2 x 3 5 .  

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 6 x 2 ,

ou seja

d u = 6 x 2 d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ 0 1 f g x g ' x   d x =   ∫ 0 1 1 + 2 x 3 5 ⋅ �� 6 x 2   d x =   6 ∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x ,

ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x = 1 6 ∫ 0 1 f g x g ' x   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x = 1 6 ∫ g 0 g 1 f u   d u ,

onde

g 0 = 1 + 2 0 3 = 1

e

  g 1 = 1 + 2 ( 1 ) 3 = 3 .

Portanto, temos que

1 6 ∫ g 0 g 1 f u   d u = 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5 d x = 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u ,

Com u = 1 + 2 x 3 .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo passo 😉!

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental temos que

∫ 1 3 u 5 d u = ∫ u 5 d u 1 3 .

Mas, pela Regra da Potência, temos que

∫ u 5 d u = u 5 + 1 5 + 1 + C 1 = 1 6 u 6 + C 1 .

Bem, como:

  • Em u = 3

    • ∫ u 5 d u ​ u = 3 = ( 3 ) 6 6 + C 2 = 729 6 + C 2 .

  • Em u = 1

∫ u 5 d u ​ u = 1 = ( 1 ) 6 6 + C 2 = 1 6 + C 2 ,

Então,

∫ u 5 d u 1 3 = 729 6 + C 1 - 1 6 + C 1 = 728 6 ,

e como descobrimos no Passo anterior que

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5   d x = 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u = 728 36 ,

a integral procurada vale

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5   d x = 182 9 .

Resposta

O valor da integral é:

∫ 0 1 x 2   1 + 2 x 3 5   d x = 182 9 .

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