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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 8

Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 x 3 + 5 9   d x

Passo 1

E aí, galera! Tudo certinho 😎?

Nesse problema precisamos calcular a integral indefinida

∫ x 2 x 3 + 5 9   d x .

Expandir o termo x 3 + 5 9 é uma tarefa complicada, né? Apesar de vermos que o integrando é um polinômio, fica complicado saber a expressão certinha dele para usarmos as fórmulas dadas na Tabela de Integrais Indefinidas.

🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?

Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma outra beeeeem mais fácil de calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ f u d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma integral que sabemos calcular, combinado?

💡 Vamos relembrar de algumas propriedades das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral indefinida

∫ x 2 x 3 + 5 9   d x ,

podemos ver que, se

f x = x 9

e

u = g x =   x 3 + 5 ,

então

f g x = x 3 + 5 9 .  

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 3 x 2 ,

ou seja,

d u = 3 x 2   d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ x 3 + 5 9 3 x 2 d x =   3 ∫ x 3 + 5 9 x 2 d x ,

ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por

1 3 ∫ f g x g ' x   d x =   ∫ x 3 + 5 9 x 2 d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ x 3 + 5 9 x 2 d x = 1 3 ∫ f u d u ,

onde

1 3 ∫ f u   d u = 1 3 ∫ u 9 d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né?

Pela Regra da Potência, temos que

∫ u 9 d u = u 9 + 1 9 + 1 + C 1 = 1 10 u 10 + C 1 .

Logo,

∫ x 3 + 5 9 x 2 d x = 1 3 ∫ u 9 d u = 1 3 ⋅ 1 10 u 10 + C 1 ,    

ou seja, temos que

∫ x 3 + 5 9 x 2 d x = u 10 30 + C 2 ,

onde C 2 = 1 3 C 1 é uma constante qualquer.

Passo 3

⚠️ Cuidado que ainda não terminamos!

A igualdade

∫ x 3 + 5 9 x 2 d x = u 10 30 + C 2

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x =   x 3 + 5 .  

Fazendo isso, vamos ter que

∫ x 3 + 5 9 x 2 d x = u 10 30 + C 2 =   ( x 3 + 5 ) 10 30 + C 2 ,

ou seja, a integral do enunciado vale ∫ x 3 + 5 9 x 2 d x =   ( x 3 + 5 ) 10 30 + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ x 2 x 3 + 5 9   d x = x 3 + 5 10 30 + C 2 ,

onde C 2 é uma constante qualquer.

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