Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 14

Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de x 4 + x - 4 = 0 no intervalo 1,2

Passo 1

Fala aí, eu sou o Rafha do Responde Aí e vou te ajudar aqui.

Nessa questão temos a seguinte equação:

x 4 + x - 4 = 0

E queremos encontrar a sua raiz dentro do intervalo [ 1,2 ] .

Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.

Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz,. Como temos um intervalo fechado onde queremos encontra-la, podemos usar o meio do intervalo.

x 1 = 1 , 5

E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

O enunciado pede para encontrarmos a raíz com uma precisão de seis casas decimais. Bora lá?

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Nossa função é:

f x = x 4 + x - 4

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 4 x 4 - 1 + x 1 - 1 - 0

f ' x = 4 x 3 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

x n + 1 = x n - x n 4 + x n - 4 4 x n 3 + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1,5 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 2 = x 1 - x 1 4 + x 1 - 4 4 x 1 3 + 1

x 2 = 1,5 - 1,5 4 + 1,5 - 4 4 . 1,5 3 + 1

x 2 ≈ 1,323276

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 3 = x 2 - x 2 4 + x 2 - 4 4 x 2 3 + 1

x 3 = 1,323276 - 1,323276 4 + 1,323276 - 4 4 . 1,323276 3 + 1

x 3 ≈ 1,285346

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 4 = x 3 - x 3 4 + x 3 - 4 4 x 3 3 + 1

x 4 = 1,285346 - 1,285346 4 + 1,285346 - 4 4 . 1,285346 3 + 1

x 4 ≈ 1,283784

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 5 = x 4 - x 4 4 + x 4 - 4 4 x 4 3 + 1

x 5 = 1,283784 - 1,283784 4 + 1,283784 - 4 4 . 1,283784 3 + 1

x 5 ≈ 1,283782

Vamos achar x 6 :

x 6 = x 5 - x 5 4 + x 5 - 4 4 x 5 3 + 1

x 6 = 1,283782 - 1,283782 4 + 1,283782 - 4 4 . 1,283782 3 + 1

x 6 ≈ 1,283782

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,283782 .

Resposta

A raiz é 1,283782 .

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