Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 68
Calcule a integral definida.
Passo 1
E aí, pessoal! 😊
A questão pede para calcularmos a integral definida
e pra isso podemos fazer uma mudança de variável.
Perceba que na nossa questão temos uma raíz e dentro dessa raíz temos dois termos. Geralmente, é difícil resolver coisas assim. Por isso, é uma boa tentar transformar o que tá dentro da raíz em uma coisa só, fazendo
Na técnica da substituição devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
E para substituir o que ficou faltando, podemos escrevê-lo em função de e pronto, estará tudo substituído!
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Nossa integral é:
Vamos fazer
Derivando para encontrar teremos:
Logo, temos que:
Além disso, isolando na equação da substituição temos:
Para a substituição dos limites de integração, temos que quando:
E que quando:
Passo 3
Assim, a integral fica
Ajeitando e tirando as constantes de dentro da integral teremos:
Podemos abrir essa fração em uma subtração de frações:
E agora escrever cada fração em função de uma única potência de :
E então calcular a integral usando a regra da potência:
Substituindo os limites e simplificando...
E pronto, temos portanto que:
Achou tranquilo? Responde Aí! 😬
