Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 60
Calcule a integral definida.
Passo 1
Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:
Para resolver a integral, a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Sabemos disso, pois temos um fator que possui e a sua derivada que possui aparece no resto da integral (pelo menos o aparece, o que já é suficiente!). Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável .
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Nossa integral é:
Como a derivada de é , vamos fazer
Para encontrar o seu diferencial, vamos deriva-lo em relação a .
Portanto,
De forma que temos:
Além disso, para os limites de integração, vamos ter que quando:
E que quando:
Passo 3
Nossa integral era:
Com a substituição ela ficará:
Aqui eu vou fazer uma manobra, mas ela não é obrigatória.
Vou trocar os limites de integração e com isso multiplicar a integral toda por menos .
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Portanto,