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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 64

Avalie a integral definida.

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x .

Passo 1

Oie, tudo beleza?

Nesse exercício, temos que calcular a integral definida

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x .

Primeiro, precisamos saber se essa integral pode ser calculada. Ou seja, se o integrando é uma função contínua, definida no intervalo 0 , a .

Geralmente elas vão ser contínuas nos respectivos intervalos, mas é sempre bom ficar atento porque seu professor pode gostar de uma pegadinha 🤣.

Uma vez que sabemos que podemos calculá-la, vamos utilizar a Regra da Substituição para transformar essa integral aparentemente complicada em uma outra beeeeem mais fácil.

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Bem, precisamos escolher um termo do integrando

x   a 2 - x 2

e substituí-lo por uma nova variável u . A sacada pra essa escolha é pensar em um termo cuja derivada em relação à variável x também apareça no integrando, beleza?

Uma dica seria olhar para o integrando e pensar: “o que se a gente removesse daqui iria simplificar pra integrarmos?” Um palpite seria escolhermos

u = ( a 2 - x 2 ) ,

pois

d u d x = - 2 x   → d u = - 2 x   d x ,

então teríamos que

x   a 2 - x 2   d x = - 1 2 u   d u ,

que é bem mais fácil de calcular pois conhecemos uma fórmula para a integral de f u = u , certo?

Na prática, vamos fazer a seguinte transformação na integral dada:

∫ 0 a f g x g ' x d x =   ∫ g 0 g a f u   d u ,

onde

u = g x .

👀 Então, fique ligado! Vamos precisar:

  • Verificar se o integrando

    • x   a 2 - x 2

    é contínuo e está definido no intervalo de integração [ 0 ,   a ] .

  • Fazer a mudança de variável u = g x adequada para conseguimos reescrevermos a integral dada como uma integral mais simples.
  • Calcular a integral mais simples

∫ g 0 g a f u   d u

e obter a resposta para a questão!

Observe que não retornamos à variável x após a integração, pois vamos calcular a expressão em u já no intervalo apropriado [ g 0 ,   g ( a ) ] .

Não se assuste, parece complicado né? Mas esse é um tipo de cálculo que requer prática, te garanto que depois de alguns exercícios você vai tá voando na escolha do u e no processo de substituição 😉.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar verificando se o integrando

h x = x   a 2 - x 2

é uma função contínua, definida no intervalo de integração 0 , a .

Observe que h é o produto da função polinomial   x com a função composta a 2 - x 2 .

A função raiz quadrada possui como domínio os números reais não negativos, logo a função composta

a 2 - x 2

está definida apenas quando

a 2 - x 2 ≥ 0 ,

ou seja, quando

a 2 ≥ x 2 .

Tomando a raiz dos dois lados da desigualdade, temos que a 2 - x 2 está definida para valores de x tais que

a ≥ x .

Observe que usamos o módulo, pois não sabemos com certeza se a > 0 . Porém, como o intervalo de integração é 0 ,   a , então x ∈ [ 0 ,   a ] e, dessa forma,

a 2 - x 2

está definida no intervalo de integração.

Logo, o integrando

h x = x   a 2 - x 2

está definido no intervalo de integração [ 0 ,   a ] e é uma função contínua nele, pois todas as funções envolvidas são contínuas em seus respectivos domínios.

Dessa forma, podemos calcular a integral definida

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x .

Passo 3

Como vimos no Passo 1 , perceba que como

a 2 - x 2 ' =   - 2 x

e a função x também aparece no integrando de

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x ,

então uma boa escolha para f e u é dada por

f x = x = x 1 2

e

u = g x =   a 2 - x 2 .

De fato, pois

f g x = a 2 - x 2  

e derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = - 2 x ,

ou seja,

d u = - 2 x   d x .

Dessa forma, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ 0 a f g x g ' x   d x =   ∫ 0 a a 2 - x 2 ⋅ - 2 x   d x ,

ou seja,

∫ 0 a f g x g ' x   d x = - 2 ∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x .

Mas, isso quer dizer que a integral do enunciado é dada por

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ 0 a f g x g ' x   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ g 0 g a f u   d u ,

onde

g 0 = a 2 - 0 2 = a 2

e

  g a = a 2 - a 2 = 0 .

Portanto, temos que

- 1 2 ∫ g 0 g a f u d u = - 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós temos uma fórmula que facilita o seu cálculo, né? Observe como faremos isso no próximo Passo 😊!

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral rescrita na forma mais simples:

- 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u .

Usando a Regra da Potência e o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral definida, temos que:

- 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u = - 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 a 2 0 ,

ou seja,

= - 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 a 2 0 = - 1 2 2 3 u 3 2 a 2 0 = - 1 3 u 3 2 a 2 0 .

Avaliando u 3 2 nos extremos do intervalo de integração, temos que:

  • Em u = 0

    • u 3 2 = 0 3 2 = 0 .

  • Em u = a 2

u 3 2 = ( a 2 ) 3 2 = | a | 3 .

Observe que aqui, usamos o módulo pois não sabemos se a é positivo ou negativo, certo? Em nenhum lugar do enunciado isso foi dito. Então vamos ser cuidadosos, beleza?

Dessa forma,

- 1 3 u 3 2 a 2 0 = - 1 3 0 -   | a | 3 = | a | 3 3

e vale que

- 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u =   | a | 3 3 .

Logo, como

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u

e

- 1 2 ∫ a 2 0 u 1 2   d u = | a | 3 3

então a integral procurada vale

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = | a | 3 3 .

Resposta

O valor da integral é:

∫ 0 a x   a 2 - x 2   d x = | a | 3 3 .

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