Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 70
Calcule a integral definida.
Passo 1
Oi meus queridos, tudo certo?!
A questão pede para calcularmos a integral definida
fazendo uma mudança de variável.
Para escolher bem a nossa mudança, devemos pegar uma parte da função que tenha uma derivada que apareça no restante da função.
Por exemplo, uma boa opção é escolher
, pois a sua derivada é
e esse cara aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável .
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Nossa integral é:
Vamos fazer a substituição
E vamos derivar para encontrar o seu diferencial :
Além disso, para substituir os limites de integração teremos que quando:
E que quando:
Passo 3
Assim, a integral fica
Resolvendo a integral usando a regra da potência:
E substituindo os limites de integração: