Calcule a integral definida.

∫ 0 1 2 a r c s e n   x 1 - x 2     d x

Passo 1

Oi meus queridos, tudo certo?!

A questão pede para calcularmos a integral definida ∫ 0 1 2 arcsen ⁡ x 1 - x 2     d x

fazendo uma mudança de variável.

Para escolher bem a nossa mudança, devemos pegar uma parte da função que tenha uma derivada que apareça no restante da função.

Por exemplo, uma boa opção é escolher

u = arcsen ⁡ x

, pois a sua derivada é

u ' = 1 1 - x 2

e esse cara aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável u .

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de x .

d u = u ' d x

E portanto teremos que:

d x = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de x da integral.

Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.

Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável u , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.

Eu vou seguir por esse caminho aqui.

Passo 2

Nossa integral é:

∫ 0 1 2 a r c s e n   x 1 - x 2     d x

Vamos fazer a substituição

u = arcsen ⁡ x

E vamos derivar para encontrar o seu diferencial d u :

d u = u ' d x

d u = d x 1 - x 2

Além disso, para substituir os limites de integração teremos que quando:

x = 0

u = arcsen ⁡ 0 = 0

E que quando:

x = 1 2

u = arcsen ⁡ 1 2 = π 6   ( 30 º )

Passo 3

Assim, a integral fica

∫ 0 1 2 a r c s e n   x 1 - x 2     d x = ∫ 0 π 6 u   d u

Resolvendo a integral usando a regra da potência:

= u 2 2 0 π 6

E substituindo os limites de integração:

= 1 2 π 6 2 - 0 2

= π 2 72

Resposta

∫ 0 1 2 a r c s e n   x 1 - x 2     d x = π 2 72

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