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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 19

Calcule a integral.

int (cos x + sen 2 x)/(sen x) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui o iremos fazer é resolver essa integração, que a principio parece ser bem dificil. Mas tudo bem, magioritariamente as integrais trigonométricas devem ser manipuladas para que fiquem mais simples e possam ser integradas.

Passo 2

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão:

int (cos x + sen 2 x)/(sen x) d x = int (cos x + 2 sen x cos x)/(sen x) d x

= int (cos x)/(sen x) d x + int (2 sen x cos x)/(sen x) d x

= int (cos x)/(sen x) d x + int 2 cos x d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Com a primeira vamos fazer uma substituição:

u = sen x

d u = cos x d x

Vamos substituir:

int (cos x)/(sen x) d x = int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (cos x)/(sen x) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 3

Agora com a segunda é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos c x d x = (sen c x)/(c) + C

Então ficamos com:

int 2 cos x d x = 2 int cos x d x = 2 sen x + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int (cos x + sen 2 x)/(sen x) d x = int (cos x)/(sen x) d x + int 2 cos x d x

= ln |u| + 2 sen x + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (cos x + sen 2 x)/(sen x) d x = ln |u| + 2 sen x + C

= ln |sen x| + 2 sen x + C

Resposta

int (cos x + sen 2 x)/(sen x) d x = ln |sen x| + 2 sen x + C

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