Calcule a integral.

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x   d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x   d x = ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ x cos ⁡ x   d x = ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x   d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n   x de modo que d u = cos ⁡ x   d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n   x , temos que para x = 0 , u = 0 e para x = π 2 , u = 1 . Assim, a integral fica:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x   d x = ∫ 0 1 1 - u 2 2   d u

= ∫ 0 1 1 - 2 u 2 + u 4   d u

Passo 3

Calculando a integral:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x   d x = u - 2 u 3 3 + u 5 5 0 1

= 1 - 2 3 + 1 5

= 15 - 10 + 3 15 = 8 15

Resposta

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x   d x = 8 15

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