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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(2)) cos^5 x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n^2 x + cos^2 x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

int_0^((pi)/(2)) cos^5 x d x = int_0^((pi)/(2)) cos^4 x cos x d x = int_0^((pi)/(2)) (1 - s e n^2 x)^2 cos x d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n x de modo que d u = cos x d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n x , temos que para x = 0 , u = 0 e para x = (pi)/(2) , u = 1 . Assim, a integral fica:

int_0^((pi)/(2)) cos^5 x d x = int_0^1 (1 - u^2)^2 d u

= int_0^1 (1 - 2 u^2 + u^4) d u

Passo 3

Calculando a integral:

int_0^((pi)/(2)) cos^5 x d x = [u - (2 u^3)/(3) + (u^5)/(5)]_0^1

= 1 - (2)/(3) + (1)/(5)

= (15 - 10 + 3)/(15) = (8)/(15)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) cos^5 x d x = (8)/(15)

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