Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 41
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Oie, belezinha 😊? Nesse exercício queremos calcular o valor da integral
Apesar de parecer uma integral simples, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo. Mas como
Então podemos reescrevê-la como
🤔 Mas como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?
Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.
💡 Vamos relembrar de uma integral indefinida da tabela que vai nos ajudar a resolver essa questão.
Além disso, precisamos relembrar da seguinte derivada:
Pronto, temos tudo o que precisamos!
Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 😉.
Passo 2
Perceba que como
e a função também aparece no integrando de
então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Temos que
onde C é uma constante qualquer.
Logo,
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
ou seja, a integral do enunciado é dada por
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.