Calcule a integral indefinida.

∫ cotan ⁡ x d x .

Passo 1

Oie, belezinha 😊? Nesse exercício queremos calcular o valor da integral

∫ cotan ⁡ x d x .

Apesar de parecer uma integral simples, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo. Mas como

cotan ⁡ x = cos ⁡ x sen ⁡ x ,

Então podemos reescrevê-la como

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x .

🤔 Mas como resolvemos essa questão?

Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ f u   d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.

💡 Vamos relembrar de uma integral indefinida da tabela que vai nos ajudar a resolver essa questão.

∫ d u u = ln ⁡ ( u ) + C .

Além disso, precisamos relembrar da seguinte derivada:

sen ⁡ x ' =   cos ⁡ x .

Pronto, temos tudo o que precisamos!

Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 😉.

Passo 2

Perceba que como

sen ⁡ x ' =   cos ⁡ x  

e a função cos ⁡ x também aparece no integrando de

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x ,

então uma boa escolha para f e u é dada por

f x = 1 x

e

u = g x = sen ⁡ x ,

pois

f g x = 1 sen ⁡ x  

e, além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = cos ⁡ x ,

ou seja,

d u = cos ⁡ x d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ 1 s e n ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ f u   d u ,

onde

∫ f u   d u = ∫ d u u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Temos que

∫ d u u = ln ⁡ ( u ) + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Logo,

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + C .

Passo 3

⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ u + C

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x = sen ⁡ x .

Fazendo isso, vamos ter que

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ u + C = ln ⁡ sen ⁡ x + C

ou seja, a integral do enunciado é dada por ∫ cotan ⁡ x d x = ln ⁡ sen ⁡ x + C .

Resposta

A integral é dada por:

∫ cotan ⁡ x d x = ln ⁡ sen ⁡ x + C ,

onde C é uma constante qualquer.

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