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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 12

Calcule a integral indefinida.

∫ x x 2 + 1 2   d x

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ x x 2 + 1 2   d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Podemos imaginar que calcular essa integral na forma como está vai ser extremamente dificil.

Então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:

∫ f x d x → ∫ g u d u

Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral em relação a u .
  • Voltar o resultado para x substituindo u de volta para x .

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = x x 2 + 1 2

Então podemos substituir a função dentro do expoente por u .

u = x 2 + 1

Derivando em relação a x pela regra da potência e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 2 x → d x = 1 2 x d u

Substituindo u e d x na integral...

∫ x x 2 + 1 2 d x → ∫ x u 2 1 2 x d u

Simplificando x ...

1 2 ∫ u - 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora essa integral ficou muito mais simples, não é?

Para resolvê-la, basta aplicarmos a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

1 2 ∫ u - 2 d u = 1 2 u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 1 2 u - 1 - 1 + C

1 2 ∫ u - 2 d u = - 1 2 u + C

Por último, temos que voltar para x , então fazemos a “substituição inversa”...

∫ x x 2 + 1 2 d x = - 1 2 x 2 + 1 + C

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ x x 2 + 1 2   d x = - 1 2 x 2 + 1 + C

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