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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 68

  1. Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x

Passo 1

Nós usaremos a fórmula:

tg ⁡ 2 x = 2 tg ⁡ x 1 - tg 2 ⁡ x

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ x 2

x 2 = tg - 1 ⁡ u

d x = 2 1 + u 2 d u

Vamos começar a fazer algumas manipulações usando a fórmula dada no início do exercício:

tg ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2

Então:

sen ⁡ x cos ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2 . 1 + tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Podemos dizer que:

sen ⁡ x   = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 2 u 1 + u 2  

E também:

1 cos ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2

Logo:

cos ⁡ x = 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 = 1 - u 2 1 + u 2

Passo 2

Então:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = ∫ 1 4 . 2 u 1 + u 2 - 3 . 1 - u 2 1 + u 2 . 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = ∫ 1 8 u - 3 - 3 u 2 1 + u 2 . 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = ∫ 1 + u 2 8 u - 3 - 3 u 2 . 2 1 + u 2 d u

Reorganizando:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = ∫ 2 3 ( u 2 + 8 3 u - 1 ) d u = 2 3 ∫ 1 u 2 + 2 4 3 u + 16 9 - 16 9 - 1 d u

Então:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 ∫ 1 u + 4 3 2 - 25 9 d u = 2 3 ∫ 1 u + 4 3 2 - 5 3 2 d u

Passo 3

Agora, a ultima etapa para resolver a integral:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 ∫ 1 u + 4 3 2 - 5 3 2 d u

Aplicaremos na fórmula que diz que:

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + C

Se :

t = u + 4 3

d i = d u

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 ∫ 1 u + 4 3 2 - 5 3 2 d u

Substituindo:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 ∫ 1 t 2 - 5 3 2 d u

Aplicando na fórmula, temos:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 3 10 ln ⁡ t - 5 / 3 t + 5 / 3 + C

Substituindo t :

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 3 10 ln ⁡ u + 4 / 3 - 5 / 3 u + 4 / 3 + 5 / 3 + C

Resolvendo:

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 3 10 ln ⁡ u - 1 / 3 u + 1 / 3 + C

Substituindo u = tg ⁡ x 2   :

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 3 10 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - 1 / 3 tg ⁡ x 2 + 1 / 3 + C

Passo 4

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ 1 4 sen ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x = 2 3 3 10 ln ⁡ tg ⁡ x 2 - 1 / 3 tg ⁡ x 2 + 1 / 3 + C

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