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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 52

  1. Complete o quadrado, faça uma substituição u adequada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem completar quadrados e sem substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = x + 3

d u = d x

Podemos reescrever:

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ x x 2 + 6 x + 9 + 4 d x

Pode ser reescrito como:

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ x x + 3 2 + 4 d x

Reescrevendo em termos de u :

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ u - 3 u 2 + 4 d u

Separando as integrais:

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = ∫ u u 2 + 4 d u - ∫ 3 u 2 + 4 d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 1 u 2 + a 2 d u = tg - 1 ⁡ u a + C

Susbstituindo na fórmula e se a = 2 , temos:

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 4 - 3 arc tg ⁡ u 2 + C

Substituindo u = x + 3 :

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ ( x + 3 ) 2 + 4 - 3 arc tg ⁡ x + 3 2 + C

Então:

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 6 x + 13 - 3 arc tg ⁡ x + 3 2 + C

Resposta

∫ x x 2 + 6 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 6 x + 13 - 3 arc tg ⁡ x + 3 2 + C

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