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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 62

  1. Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ 1 + x 1 - x d x  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 1 / n .

Se :

u = x 1 / 2

u 2 = x

2 u   d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ 1 + x 1 - x d x   = ∫ 1 + x 1 / 2 1 - x 1 / 2 d x    

Aplicando a substituição, temos :

∫ 1 + x 1 - x d x = ∫ 1 + u 1 - u 2 u d u = 2 ∫ u 2 + u 1 - u d u

Usaremos a divisão que diz que:

u 2 + u 1 - u = - 2 - u + 2 1 - u

Substituindo:

∫ 1 + x 1 - x d x = 2 ∫ - 2 - u + 2 1 - u d u

Integrando aplicando ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 e também ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C :

∫ 1 + x 1 - x d x = 2 - 2 u - u 2 2 - 2 ln ⁡ 1 - u + C

Substituindo u = x 1 / 2 :

∫ 1 + x 1 - x d x = - 4 ( x 1 2 ) - ( x 1 2 ) 2 - 4 ln ⁡ 1 - x 1 / 2 + C

Simplificando: ∫ 1 + x 1 - x d x = - 4 x - x - 4 ln ⁡ 1 - x + C

Passo 2

  1. Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ 1 + x 1 - x d x = - 4 x - x - 4 ln ⁡ 1 - x + C

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