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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 96

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^8 ((2)/(3 x) - (8)/(x^2)) d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_1^8 ((2)/(3 x) - (8)/(x^2)) d x = int_1^8 ((2)/(3 x)) d x - int_1^8 ((8)/(x^2)) d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

= int_1^8 ((2)/(3 x)) d x - int_1^8 ((8)/(x^2)) d x = (2)/(3) int_1^8 ((1)/(x)) d x - 8 int_1^8 x^(- 2) d x

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E que:

int ((1)/(x)) d x = ln (|x|) + C

Assim:

(2)/(3) int_1^8 ((1)/(x)) d x - 8 int_1^8 x^(- 2) d x = (2)/(3) (ln (| x) |) (8)/(1) - 8 (- (1)/(x)) (8)/(1)

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(2)/(3) (ln (| x) |) (8)/(1) - 8 (- (1)/(x)) (8)/(1) = (2)/(3) (ln (8) - ln (1)) - 8 (- (1)/(8) - (- 1)) = (2)/(3) ( ln (8) ) - 7 =

= (2)/(3) ( ln 2^3 ) - 7 = (2)/(3) xx 3 ln (2) - 7 = 2 ln (2) - 7

Lembre-se que:

ln ( x^k ) = k ln (x)

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ln (8) = ln (2^3) = 3 ln (2)

Resposta

2 ln (2) - 7

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Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.
Calcule cada integral aplicando adequadamente o Teorema 5.2 . 3 e a Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 . ∫ 10 y 3 / 4 - y 3 + 4 y d y
Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ x - 7 / 8 d x
Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ x 2 3 d x
Calcule cada integral aplicando adequadamente o Teorema 5.2 . 3 e a Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 . ∫ 5 x + 2 3 x 5 d x