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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 100

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^(ln 9) e^(theta) (e^(theta) - 1)^((1)/(2)) d theta

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^(ln 9) e^(theta) (e^(theta) - 1)^((1)/(2)) d theta

u = e^(theta) - 1 d u = e^(theta) d theta

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_0^(ln 9) e^(theta) (e^(theta) - 1)^((1)/(2)) d theta = int_0^(ln 9) u^((1)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

int_0^(ln 9) u^((1)/(2)) d u = ((u^((3)/(2)))/((3)/(2))) (ln 9)/(0) = (2)/(3) ( u^((3)/(2)) ) (ln 9)/(0)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(2)/(3) ( u^((3)/(2)) ) (ln 9)/(0) = (2)/(3) (e^(theta) - 1) (ln 9)/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(2)/(3) (e^(theta) - 1) (ln 9)/(0) = (2)/(3) ([e^(ln 9) - 1] - [e^0 - 1]) = (2)/(3) (8) = (16)/(3)

Resposta

(16)/(3)

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