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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 57

Avalie a integral definida.

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t

Passo 1

Opa, tudo certinho por aí 😊?

Queremos calcular a integral

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t .

Para isso, vamos utilizar a Regra da Substituição e transformar essa integral em uma outra beeeeem mais fácil de calcular.

A Regra da Substituição para integrais definidas diz que: Se g ' x for uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e f for contínua na imagem de u = g x ,   então vale que

∫ a b f g x g ' x d x =   ∫ g a g b f u   d u .

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Precisamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma mais simples, combinado?

Além disso, nessa integral mais simples vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e obter o seu valor.

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema fundamental do cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f u   d u = ∫ f u   d u a b

    onde ∫ f u d u é a primitiva da função f , ou seja,

    d d u ∫ f u d u   = f u .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f u   d u =   c ∫ f u d u .

  • A primitiva da função sec 2 ⁡ u é

∫ sec 2 ⁡ u d u = tan ⁡ u + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Pronto! Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 😎!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral indefinida

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t

observamos que se definirmos

f t = s e c 2 t

e

u = g t = t 4 ,

então

f g x = sec 2 ⁡ t 4  

e, além disso, derivando u em relação à variável t , temos que

d u d t = g ' t = 1 4 ,

ou seja

d u = 1 4 d t .

Dessa forma, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ 0 π f ( g t ) g ' t   d t =   ∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4 ⋅ 1 4   d t = 1 4 ∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4 d t ,

ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 ∫ 0 π f g t g ' t   d t .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 ∫ g 0 g π f u   d u ,

onde

g 0 = 0       e       g π = π 4 .

Portanto, temos que

4 ∫ g 0 g π f u   d u = 4 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u d u ,

com u = t 4 .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo Passo 😉!

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental temos que

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u d u 0 π 4 .

Mas, conforme vimos no Passo 1 , vale que

∫ sec 2 ⁡ u d u = tan ⁡ u + C .

Bem, como:

  • Em u = π 4

    • ∫ sec 2 ⁡ u d u ​ u = π 4 = tan ⁡ π 4 + C = 1 + C .

  • Em u = 0

∫ sec 2 ⁡ u d u ​ u = 0 = tan ⁡ 0 + C = 0 + C .

Então,

∫ sec 2 ⁡ u d u 0 π 4 = 1 + C - 0 + C = 1

e como descobrimos no Passo anterior que

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ u d u ,  

a integral procurada vale

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 .

Resposta

O valor da integral é:

∫ 0 π sec 2 ⁡ t 4   d t = 4 .

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