Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 71
Calcule a integral definida.
Passo 1
Fala ae, eu sou o Rafha do Responde Aì e vim te ajudar nessa questão!
A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável.
Para escolher bem a nossa mudança, é bom que peguemos uma parte da função que tenha uma derivada que apareça no restante. Além disso, queremos facilitar as coisas né.
Repara que ali temos uma fração com dois termos no denominador. Se conseguirmos transformar em um termo só, seria ótimo.
Por exemplo, uma boa opção é escolher
Pois sua derivadfa é
E esse cara aparece no restante da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável .
E além disso, vamos tornar o denominador da fração que possui dois termos em um denominador com um termo apenas!
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Nossa integral é:
Vamos fazer a substituição
E vamos derivar para encontrar seu diferencial :
Portanto,
E para os limites de integração temos que quando:
E que quando:
Passo 3
Assim, podemos reescrever a integral como
E essa integral nós temos tabelado. É a integral do logaritmo natural! Portanto seu resultado é:
Substituindo os limites da integral temos:
E temos que , logo: