Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 67
Calcule a integral definida.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente calcular a integral definida dada por:
Essa não é uma integração muito simples de ser feita do jeito que está aí. E para casos assim, podemos tentar fazer uma mudança de variável e ver isso ajuda a tornar nossa integral um pouco mais simples.
Passo 2
Queremos integrar:
Vamos fazer
Assim
Note que se
Então
Assim, temos que
E nossa integral que era:
pode ser escrita a forma:
Mas também precisamos mudar os limites de integração, para resolvermos a integral na região correta.
Passo 3
Perceba que quando
Temos:
e, para
Temos
Assim a integral fica
Maravilha, mas ainda não temos uma integral muito fácil de se calcular. Mas seguimos fortes na esperança.
Passo 4
Vamos tentar uma nova mudança de variável, vamos fazer:
Assim,
e
E nossos limites de integração assumirão novos valores. Assim, quando
já para
temos que:
Assim, a integral fica
Essa integral não pode ser calculada analiticamente (ela é bem famosa), porém ela existe e é igual a um número.
Ao invés de escrevermos o número, vamos deixar ele representado pela integral.
Se você tiver interesse, tente calcular essa integral computacionalmente usando algum algoritmo ou software.