Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 80
Um modelo para a taxa de metabolismo basal, em , de um homem jovem é , em que é o tempo em horas medido a partir de horas da manhã. Qual é o metabolismo basal total deste homem, , em um período de horas.
Passo 1
Tranquilo?
O problema nos dá a taxa de metabolismo basal:
E aqui vamos lembrar que toda vez que ouvimos taxa, lembramos de: derivada!
E ele pede qual o metabolismo de um homem em:
Observe que nossa integral varia de a , que são exatamente a quantidade de horas do dia, ou seja, o problema quer o metabolismo total basal desse homem em um dia completo!
Então devemos calcular a integral definida da função taxa para achar o metabolismo:
Para resolver essa integral, devemos utilizar uma substituição simples com .
Vamos só relembrar a regra da substituição?
Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:
Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.
A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:
Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .
Substituindo essas expressões na integral, obtemos:
A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de . Também temos que verificar os limites de integração, que nada mais é que substituir em , e encontrar os valores correspondentes, pois aqui temos uma integral definida!
Como mudamos o limite de integral, não precisamos voltar para o valor original de !
Eu sei que parece complicado, mas vem com a gente que vai dar certo!
Passo 2
Já definimos então agora vamos calcular a derivada , e isolando :
Agora verificamos os limites de integração na variável , para isso vamos analisar como , se comporta com ambos os limites:
Trocando a variável da integral (aqui mudamos a função e os limites de integração), ficamos com:
Agora podemos separar a integral em 2, pois a integral da soma é a soma das integrais:
E temos duas integrais bem mais simples de resolver!
Vamos resolver separadamente:
Agora basta usar a primitiva e resolver a integral definida.
Passo 3
Temos uma integral definida pelo teorema fundamental do cálculo (tfc), temos que:
Em que .
Ou seja, a integral definida é a primitiva da função no limite superior menos a primitiva da função no limite inferior:
Dessa forma:
Para a outra integral:
E agora é só somar o resultado:
Temos enfim:
Sendo assim a resposta é .
