Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 51

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico um integrando e sua primitiva (tome c = 0 ).

∫ x sin 2 ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = x sin 2 ⁡ ( x 2 ) e esboçar o gráfico dessa função junto com a sua antiderivada, usando c = 0 .

A antiderivada será o resultado da nossa integral, que vamos chamar de F ( x ) . Além disso, c é uma constante de integração, que aparece porque se trata de uma integral indefinida, beleza?

Agora pra resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição, chamando:

u = x 2

Dessa forma, temos:

d u = 2 x   d x

Substituindo isso na nossa integral, fica mais fácil obter a nossa antiderivada.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo u = x 2 e d u 2 = x   d x , vamos ter:

∫ x sin 2 ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 ∫ sin 2 ⁡ ( u ) d u

Agora, a gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin 2 ⁡ ( A ) = 1 2 1 - cos ⁡ 2 A

Então, usando essa propriedade na integral, ficamos com:

= 1 2 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 u d u

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ 2 u d u

Integrando, temos:

1 4 u - 1 2 sin ⁡ 2 u + C

Onde C é a nossa constante de integração. Aplicando a distributiva no produto:

= 1 4 u - 1 8 ∙ 2 sin ⁡ u cos ⁡ u + C

Agora vamos voltar pra nossa variável original, usando u = x 2 . Assim, temos:

= 1 4 x 2 - 1 4 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + C

E como C = 0 :

∫ x sin 2 ⁡ ( x 2 ) d x = 1 4 x 2 - 1 4 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2

Passo 3

Agora só falta a gente esboçar o gráfico de f x = x sin 2 ⁡ ( x 2 ) e da sua antiderivada F x = 1 4 x 2 - 1 4 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 . Assim, temos f → p r e t o e F → c i n z a , olha só:

Vemos no gráfico que isso é razoável, pois F aumenta onde f é positivo e F diminui onde f é negativo.

Note também que f é uma função ímpar e F é uma função par.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ x sin 2 ⁡ ( x 2 ) d x = 1 4 x 2 - 1 4 sin ⁡ x 2 c o s ⁡ ( x 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

p) int_0^((pi)/(3)) s e n (x) cos^2 (x) d x
u)int_0^((pi)/(6)) cos^3 (x) d x
b) int_0^1 x (x^2 + 3)^5 d x
r) int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n (x) ( 1 - cos^2 (x) ) d x
i) int_0^3 (x)/(sqrt(x + 1)) d x