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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 65

  1. Determine uma equação para a reta que seja tangente à curva y = x 3 - x no ponto - 1,0 .
  2. Esboce a curva e a tangente em um único gráfico. A tangente intercepta a curva em outro ponto. Use os comandos “Zoom” e “Trace” para estimar as coordenadas desse ponto.
  3. Confirme suas estimativas das coordenadas do segundo ponto de interseção resolvendo as equações da curva e da tangente simultaneamente (tecla “Solver”).

Passo 1

Para resolvermos a letra a.) precisamos encontrar a tangente à curva y no ponto ( - 1,0 ) . Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular da tangente a partir da derivada de y :

y ' = m = x 3 - x '

m = 3 x 3 - 1 - x 1 - 1

m = 3 x 2 - 1

Lembrando da equação da tangente:

y 2 - f a = m x - a

y 2 - 0 = 3 - 1 2 - 1 x - - 1

y 2 = 3 - 1 x + 1

y 2 = 2 x + 1

y 2 = 2 x + 2

Passo 2

O gráfico com a tangente e a curva y podem ser vistos na figura abaixo:

A tangente passa por outro ponto da curva y . Olhando no gráfico, o ponto interceptado é 2,6 .

Passo 3

Já na letra c.), a questão pede para estimarmos o ponto que a tangente intercepta a curva f ( x ) além do ponto de tangência. Assim, iremos igualar as duas funções:

x 3 - x = 2 x + 2

x 3 - 3 x - 2 = 0

Nós sabemos que x = - 1 é uma raíz dessa função. Para isso iremos usar Briot-Ruffini para fazer a divisão do polinômio:

Logo,

x + 1 x 2 - x - 2 = 0

x 2 - x - 2 = 0

Utilizando Bhaskara:

x = 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 ∙ 1

x = 1 ± 1 + 8 2

x = 1 ± 9 2

x = 1 ± 3 2

x 1 = - 1

x 2 = 2

Agora precisamos encontrar o valor de y :

y = x 3 - x

y = 2 3 - 2 = 6

Pronto!!!

Resposta

a . )   y = 2 x + 2 ; 2,6

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