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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 113b

Determine o valor médio de f (x) = m x + b em [ - k , k ] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f (c) = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

f (c) = (1)/(k - ( - k )) int_k^(- k) (m x + b) d x = (1)/(2 k) int_k^(- k) m x d x + (1)/(2 k) int_k^(- k) b d x

Lembre-se da propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Passo 2

Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Logo:

(1)/(2 k) int_k^(- k) m x d x + (1)/(2 k) int_k^(- k) b d x = (1)/(2 k) (m (x^2)/(2)) (- k)/(k) + (1)/(2 k) (b x) (- k)/(k) =

(1)/(2 k) ((m k^2)/(2) - (m k^2)/(2)) + (1)/(2 k) (- b k - (b k)) = (1)/(2 k) (- 2 b k) = - b

Resposta

- b

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