Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 81
Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos um tanque de petróleo vazando a uma taxa de:
Dada em litros por minuto. Queremos saber quanto de petróleo vaza dentro de !
Como é dado em minuto, então queremos calcular a quantidade de petróleo que vazou nos primeiros minutos.
Para isso, devemos integrar a nossa função no intervalo de a .
Em outras palavras, devemos resolver a seguinte integral:
Onde é a quantidade de petróleo que iremos descobrir.
Mas como resolver essa integral?
Substituição! Então a pensamos o que substituir para simplificar essa integral? Concorda que calcular a integral de é mais fácil do a integral de ?
Então chamaremos:
E aí precisamos calcular para concluir a substituição, antes de avaliar os limites de integração temos que voltar a função para , e para isso é só substituir pelo valor dele!
Por fim só vamos relembrar qual primitiva que vamos usar para encontrar essa integral?
Avaliamos os limites e estará pronto o sorvetinho!
Passo 2
Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Assim, reescrevendo na integral, obtemos:
Tirando a constante multiplicativa para fora:
Passo 3
Resolvendo a integral, obtemos:
Voltando a variável original
Simplificando e aplicando os limites:
Aqui só lembrar que um número elevado a zero é , as vezes a gente erra bobagens!
litros
Prontinho!
Resposta
litros