Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 82
Uma população de bactérias tem inicialmente bactérias e cresce a uma taxa de bactérias por hora. Quantas bactérias existirão após horas?
Passo 1
Opa! Bora resolver esse problema! Temos uma população de bactérias crescendo a uma taxa de:
Onde está em horas. (E vamos recordar que toda vez que ouvimos taxa estamos falando da derivada!)
Se no tempo tinhamos bactérias, então a gente deve responder quantas bactérias existirão após horas! Que nada mais é do que o a área do gráfico da primitiva de , avaliada os valores de , então temos que integrar a nossa função!
Teremos então:
Mas ficou uma integral complicadinha neh? Quando vemos algo assim (uma função composta) podemos pensar na Regra da substituição!
Ela é extremamente útil nessas horas! Mas porquê?
Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:
Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.
A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:
Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .
Substituindo essas expressões na integral, obtemos:
A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de .
Temos que substituir os limites de integração também, para isso basta colocar o valor na função original e descobrir o valor de para aquele limite!
Após integrar em relação a , obtemos .
Como modificamos os limites de integração, não precisamos voltar para o valor de original!
E por fim, mas não menos importante temos que avaliar os limites da integral segundo o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo) que basicamente é a primitiva no limite superior menos a primitiva do limite inferior, dessa forma:
E só para ficarmos preparados com tudo em mãos antes de resolver, a primitiva que vamos precisa é:
Agooora sim! Bora resolver!
Passo 2
Então temos a seguinte integral para resolver, lembra que podemos tirar a constante multiplicativa para fora:
Vamos usar a integral por substituição, para facilitar, escolhemos o como:
Repare que é a parte de “dentro” da função composta!
Agora derivando e isolando :
E vamos alterar os limites de integração:
Para :
Para :
Agora sim vamos substituir tudo na nossa nova integral:
Avaliando os limites de integração conforme o TFC:
Juntando com as bactérias iniciais:
bactérias
Prontinho!
Resposta
bactérias