Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 9

Calcule a integral int x^2 . e^(- x) d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x^2

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( x^2 ) ’ . d x

d u = 2 x . d x

d v = e^(- 1 . x) d x

v = int e^(- 1 . x) d x

v = (1)/(- 1) . e^(- 1 . x)

v = - 1 . e^(- 1 . x)

observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x^2 . e^(- x) d x = x^2 . ( - e^(- 1 . x) ) - int - 1 . e^(- 1 . x) . 2 x d x

= - x^2 . e^(- x) - ( - 2 ) int x . e^(- x) d x

= - x^2 . e^(- x) + 2 int x . e^(- x) d x

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver int x . e^(- x) d x , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w = x

d w = ( x ) ’ . d x

d w = 1 . d x

d z = e^(- x) d x

z = int e^(- x) d x

z = - 1 . e^(- 1 . x)

int w d z = w . z - int z d w

int x . e^(- x) d x = x . ( - 1 . e^(- . x) ) - int - 1 . e^(- . x) d x

= - x . e^(- x) - ( - 1 ) int e^(- x) d x

= - x . e^(- x) + int e^(- x) d x

= - x . e^(- x) + ( - 1 . e^(- 1 . x) )

= - x . e^(- x) - e^(- x)

Agora é só subistituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

int x^2 . e^(- x) d x = - x^2 . e^(- x) + 2 int x . e^(- x) d x

= - x^2 . e^(- x) + 2 ( - x . e^(- x) - e^(- x) )

= - x^2 . e^(- x) + 2 ( - x . e^(- x) ) - 2 . e^(- x) )

= - x^2 . e^(- x) - 2 x . e^(- x) - 2 . e^(- x) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int x^2 . e^(- x) d x = - x^2 . e^(- x) - 2 x . e^(- x) - 2 . e^(- x) + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule q )∫ x 2 sin ⁡ x d x
Calculei ) int (ln x)^2 d x
Calcule: ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x
Calculel ) int e^x cos x d x
Calculep ) int e^(- x) cos 2 x d x