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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 42

Calcule a integral definida.

int_0^(pi // 2) (s e n 2 x)/(1 + cos x) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Primeiro, vamos usar a fórmula do arco duplo para reescrever a integral:

I = int_0^(pi // 2) (s e n 2 x)/(1 + cos x) d x = int_0^(pi // 2) (2 s e n x cos x)/(1 + cos x) d x

Como se trata de uma função racional de senos e cossenos, vamos usar a substituição apresentada na seção do livro z = tan (1)/(2) x . Fazendo essa substituição, temos que

s e n x = (2 z)/(1 + z^2)

cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2)

d x = (2)/(1 + z^2) d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Passo 2

Quando x = 0 , z = tan 0 = 0 , já para x = pi // 2 , z = tan (pi)/(4) = 1 . Assim,

I = int_0^1 (2 * (2 z)/(1 + z^2) * ((1 - z^2)/(1 + z^2)))/(1 + (1 - z^2)/(1 + z^2)) (2)/(1 + z^2) d z = int_0^1 ((8 z ( 1 - z^2 ))/((1 + z^2)^3))/((1 + z^2 + 1 - z^2)/(1 + z^2)) d z

Portanto,

I = int_0^1 (8 z ( 1 - z^2 ))/(2 (1 + z^2)^2) d z = 4 int_0^1 (z ( 1 - z^2 ))/((1 + z^2)^2) d z

Separando em duas integrais:

I = 4 int_0^1 (z)/((1 + z^2)^2) d z - 4 int_0^1 (z^3)/((1 + z^2)^2) d z

Podemos escrever I = 4 I_1 - 4 I_2 , com

I_1 = int_0^1 (z)/((1 + z^2)^2) d z

I_2 = int_0^1 (z^3)/((1 + z^2)^2) d z

Passo 3

Vamos calcular primeiro I_1 fazendo a mudança de variável t = 1 + z^2 , de modo que d t = 2 z d z . Assim,

I_1 = (1)/(2) int_1^2 (1)/(t^2) d t = - (1)/(2) ((1)/(t))_1^2 = - (1)/(2) ((1)/(2) - 1) = (1)/(4)

Como eu mudei de variável de novo eu tive que mudar os limites de integração: quando z = 0 , temos t = 1 e para z = 1 , t = 2 .

Para calcular I_2 , faremos a mesma substituição. Porém, com z^2 = t - 1 :

z^3 d z = z^2 * z d z = (t - 1) (d t)/(2)

Assim,

I_2 = (1)/(2) int_1^2 (t - 1)/(t^2) d t = (1)/(2) int_1^2 (1)/(t) d t - (1)/(2) int_1^2 (1)/(t^2) d t = (1)/(2) (ln t)_1^2 - I_1 = (1)/(2) ln 2 - (1)/(4)

Portanto:

I = 4 * (1)/(4) - 4 * ((1)/(2) ln 2 - (1)/(4)) = 2 - 2 ln 2

Resposta

2 - 2 ln 2

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