Calcule a integral definida.
Passo 1
A questão pede para calcularmos a integral definida. Primeiro, vamos usar a fórmula do arco duplo para reescrever a integral:
Como se trata de uma função racional de senos e cossenos, vamos usar a substituição apresentada na seção do livro . Fazendo essa substituição, temos que
*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.
Passo 2
Quando , , já para , . Assim,
Portanto,
Separando em duas integrais:
Podemos escrever , com
Passo 3
Vamos calcular primeiro fazendo a mudança de variável , de modo que . Assim,
Como eu mudei de variável de novo eu tive que mudar os limites de integração: quando , temos e para , .
Para calcular , faremos a mesma substituição. Porém, com :
Assim,
Portanto: