Calcule.

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar que:

sen ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

cos ⁡ x = 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Assim:

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 + 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tg ⁡ x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 + 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 u 1 + u 2 + 1 - u 2 1 + u 2 ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 1 2 u + 1 - u 2 1 + u 2 ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 2 2 u + 1 - u 2 d u = ∫ 2 - u - 1 2 + 2 d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = u - 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = d u

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 - u - 1 2 + 2 d u = ∫ 2 - t 2 + 2 d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Por último vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = 2 v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 2 d v

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 - t 2 + 2 d t = ∫ 2 2 - v 2 + 1 d v = 2 2 ∫ 1 - v 2 + 1

Passo 3

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

2 2 ∫ 1 1 - v 2 d v = 2 2 ∫ 1 1 - v 1 + v d v

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 1 - v 1 + v = A 1 - v + B 1 + v

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores 1 - v 1 + v :

1 = A 1 + v + B 1 - v

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A 1 + v + B 1 - v

1 = A + A v + B - B v

1 = v A - B + A + B

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A - B = 0 A + B = 1 → A = B = 1 2 B + B = 1 → B = 1 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

2 2 ∫ 1 1 - v 1 + v d v = 2 2 ∫ 1 2 1 - v + 1 2 1 + v d v =

= 2 2 ∫ 1 2 1 - v + 1 2 1 + v d v = 2 2 2 ∫ 1 1 - v d v + 2 2 2 ∫ 1 1 + v d v =

= 1 2 ∫ 1 1 - v d v + 1 2 ∫ 1 1 + v d v

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

w = 1 - v

Vamos agora achar diferencial de w , derivando:

d w = - d v

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 1 1 - v d v = 1 2 ∫ - 1 w d w

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ - 1 w d w = - 1 2 ∫ 1 w d w = - 1 2 ln ⁡ w + C

Passo 6

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

r = 1 + v

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = d v

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 1 1 + v d v = 1 2 ∫ 1 r d r

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ 1 r d r = 1 2 ∫ 1 r d r = 1 2 ln ⁡ r + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

1 2 ∫ 1 1 - v d v + 1 2 ∫ 1 1 + v d v = - 1 2 ln ⁡ w + 1 2 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

1 2 ∫ 1 1 - v d v + 1 2 ∫ 1 1 + v d v = - 1 2 ln ⁡ w + 1 2 ln ⁡ r + C =

= - 1 2 ln ⁡ 1 - v + 1 2 ln ⁡ 1 + v + C = - 1 2 ln ⁡ 1 - t 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 + C =

= - 1 2 ln ⁡ 1 - u - 1 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + u - 1 2 + C =

= - 1 2 ln ⁡ 1 - tg ⁡ x 2 - 1 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + tg ⁡ x 2 - 1 2 + C

Resposta

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = - 1 2 ln ⁡ 1 - tg ⁡ x 2 - 1 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + tg ⁡ x 2 - 1 2 + C

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