Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.11 - Ex. 2
Calcule.
Passo 1
Bem, aqui vamos usar que:
Assim:
Vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 2
Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Vamos agora fazer a substituição:
Agora fica simples de resolver, vamos lá.
Por último vamos fazer outra substituição, vamos lá:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 3
Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Passo 4
Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.
Passo 5
Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:
Aplicando:
Passo 6
Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:
Aplicando:
Passo 7
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: