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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 61

Calcule a integral definida.

∫ 0 π 3   s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:

∫ 0 π 3   s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Para resolver a integral, a técnica da substituição parece ser uma boa opção...

Sabemos disso, pois temos um fator que possui c o s θ e a sua derivada que possui s e n ⁡ ( x ) aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável u .

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de θ .

d u = u ' d θ

E portanto teremos que:

d θ = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de θ da integral.

Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.

Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável u , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.

Eu vou seguir por esse caminho aqui.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição:

u = c o s θ

Dessa forma, teremos:

d u = - s e n θ d θ

De forma que podemos escrever:

- d u = s e n θ d θ

Também temos que para quando

θ = 0

u = cos ⁡ 0 = 1

E para quando:

θ = π 3

u = cos ⁡ π 3 = 1 2

Assim, a integral fica

∫ 0 π 3   s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 1 2 - 1 u 2   d u = - ∫ 1 1 2 u - 2   d x

Calculando a integral, usando a regra da potência e substituindo os limites de integração, temos:

∫ 0 π 3   s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ = - u - 1 - 1 = 1 u

Substituindo os limites da integral temos:

1 u 1 1 2 = 1 1 / 2 - 1 1

= 2 - 1 = 1

Resposta

∫ 0 π 3   s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1

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