Calcule a integral definida:

∫ 0 1 1 + cosh ⁡ y d y

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é usar a seguinte identidade:

cosh ⁡ y 2 = cosh ⁡ y + 1 2

cosh 2 ⁡ y 2 = cosh ⁡ y + 1 2

2 cosh 2 ⁡ y 2 = cosh ⁡ y + 1

Perceba que o lado direito da igualdade é justamente o que aparece na raiz da nossa integral. Faremos a troca então:

∫ 1 + cosh ⁡ y d y = ∫ 2 cosh 2 ⁡ y 2 d y = ∫ 2 cosh 2 ⁡ y 2 d y = ∫ 2 cosh ⁡ y 2 d y

Passo 2

Pessoal, temo que c o s h ⁡ é uma função positiva sempre. Dessa forma, podemos tirar o módulo sem problemas e resolver a integral.

∫ 2 cosh ⁡ y 2 d y = ∫ 2 cosh ⁡ y 2 d y = 2 ∫ cosh ⁡ y 2 d y

Passo 3

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = y 2 e derivando, temos d u = 1 2 d y .

Vamos multiplicar essa expressão por 2 para deixar o d y sozinho.

2 d u = d y

Passo 4

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples:

2 ∫ cosh ⁡ y 2 d y = 2 ∫ cosh ⁡ u 2 d u = 2 2 ∫ cosh ⁡ u d u

Passo 5

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( senh ⁡ u ) ' = cosh ⁡ u .

Assim,

2 2 ∫ cosh ⁡ u d u = 2 2  senh ⁡ u + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = y 2 .

∫ 1 + cosh ⁡ y d y = 2 2  senh ⁡ y 2 + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 1 1 + cosh ⁡ y d y = 2 2  senh ⁡ y 2 0 1 = 2 2   senh ⁡ 1 2 - senh ⁡ 0 2

∫ 0 1 1 + cosh ⁡ y d y = 2 2 senh ⁡ 1 2 - senh ⁡ 0 = 2 2 senh ⁡ 1 2

Pois senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

Fechou!

Resposta

∫ 0 1 1 + cosh ⁡ y d y = 2 2 senh ⁡ 1 2

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