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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 31

Calcule a integral definida:

int_0^1 sqrt(1 + cosh y) d y

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é usar a seguinte identidade:

cosh (y)/(2) = sqrt((cosh y + 1)/(2))

cosh^2 (y)/(2) = (cosh y + 1)/(2)

2 cosh^2 (y)/(2) = cosh y + 1

Perceba que o lado direito da igualdade é justamente o que aparece na raiz da nossa integral. Faremos a troca então:

int sqrt(1 + cosh y) d y = int sqrt(2 cosh^2 (y)/(2)) d y = int sqrt(2) sqrt(cosh^2 (y)/(2)) d y = int sqrt(2) |cosh (y)/(2)| d y

Passo 2

Pessoal, temo que c o s h é uma função positiva sempre. Dessa forma, podemos tirar o módulo sem problemas e resolver a integral.

int sqrt(2) |cosh (y)/(2)| d y = int sqrt(2) cosh (y)/(2) d y = sqrt(2) int cosh (y)/(2) d y

Passo 3

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = (y)/(2) e derivando, temos d u = (1)/(2) d y .

Vamos multiplicar essa expressão por 2 para deixar o d y sozinho.

2 d u = d y

Passo 4

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples:

sqrt(2) int cosh (y)/(2) d y = sqrt(2) int cosh u (2 d u) = 2 sqrt(2) int cosh u d u

Passo 5

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( senh u ) ' = cosh u .

Assim,

2 sqrt(2) int cosh u d u = 2 sqrt(2) senh u + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = (y)/(2) .

int sqrt(1 + cosh y) d y = 2 sqrt(2) senh (y)/(2) + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^1 sqrt(1 + cosh y) d y = [2 sqrt(2) senh (y)/(2)]_0^1 = 2 sqrt(2) (senh (1)/(2) - senh (0)/(2))

int_0^1 sqrt(1 + cosh y) d y = 2 sqrt(2) (senh (1)/(2) - senh 0) = 2 sqrt(2) senh (1)/(2)

Pois senh 0 = (e^0 - e^(- 0))/(2) = 0

Fechou!

Resposta

int_0^1 sqrt(1 + cosh y) d y = 2 sqrt(2) senh (1)/(2)

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