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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 61

Calcule a integral definida, se ela existir.

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral definida:

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3

Tem ideia de como fazemos isso?

Quando temos uma integral definida com uma função que pode ser descontínua em algum ponto em x = a , temos que analisar essa descontinuidade comparando com o intervalo de integração... se o intervalo de integração conter a descontinuidade da função, nem precisamos calcular a integral pois certamente ela vai divergir.

Porém se não for o caso, podemos imaginar que calcular essa integral vai ser extremamente dificil (ou impossivel) então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:

∫ f x d x → ∫ g u d u

Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Substituir os limites de integração de x em u para obter os limites de integração em u .

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3

E nossa função de integração é:

f x = 1 1 + 2 x 2 3

Se observarmos o domínio da função que está no integrando podemos perceber que ela só apresenta uma descontinuidade para o valor de x = - 1 2 .

Como nosso intervalo de integração 0,13 não engloba esse ponto, podemos calcular a nossa integral definida sem problema algum.

Show?

Passo 3

Sendo assim, podemos chamar a função dentro da raiz de u , ou seja:

u = 1 + 2 x

Derivando em relação a x e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 2 → d x = d u 2

Como mudamos a variável de integração mudaremos também os intervalos de integração.

Quando x = 0 , temos:

u = 1 + 2 0 = 1

Quando x = 13 :

u = 1 + 2 13 = 27

Com isso, substituindo u , d x e os limites de integração na integral, vamos obter:

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3 → ∫ 1 27 1 u 2 3 d u 2

1 2 ∫ 1 27 u - 2 3 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora para resolver essa integral basta aplicarmos a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

1 2 ∫ u - 2 3 d u = 1 2 u - 2 3 + 1 - 2 3 + 1 + C = 1 2 u 1 3 1 3 + C

1 2 ∫ u - 2 3 d u = 3 2 u 1 3 + C

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 1 27 u - 2 3 d u = 3 2 27 1 3 + C - 3 2 1 1 3 + C

1 2 ∫ 1 27 u - 2 3 d u = 3

Portanto, voltando para x , concluímos que:

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3 = 3

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 13 d x 1 + 2 x 2 3 = 3

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