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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 72

Calcule a integral definida, se ela existir.

int (sqrt(t))/(1 + root(3)(t)) d t

Passo 1

Como todo estudante, desejamos resolver essa integral da forma mais simples possível. Dessa forma, vamos utilizar uma substituição bastante sagaz que vai facilitar bastante nossa vida, então, fazendo

u = root(6)(t) -> t = u^6 -> 1 = 6 u^5 * (d u)/(d t) -> d t = 6 u^5 d u

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

int (u^3 * 6 u^5 d u)/(1 + u^2) = 6 int (u^8 d u)/(1 + u^2)

Passo 2

Agora, como temos que o polinômio do numerador tem grau maior que o polinômio do denominador podemos fazer a divisão de polinômio e vamos obter o seguinte

(u^8)/(1 + u^2) = u^6 - u^4 + u^2 - 1 + (1)/(u^2 + 1)

Logo, nossa integral pode ser reescrita como

6 * int (u^8 d u)/(1 + u^2) = 6 * int u^6 - u^4 + u^2 - 1 + (1)/(u^2 + 1) d u

6 * [(u^7)/(7) - (u^5)/(5) + (u^3)/(3) + (u^3)/(3) - u + A r c t a n (u)] + C

Retornando para a variável t de origem vamos ter

6 * [((root(6)(t))^7)/(7) - (( root(6)(t) )^5)/(5) + (( root(6)(t) )^3)/(3) + (( root(6)(t) )^3)/(3) - root(6)(t) + A r c t a n (root(6)(t))] + C

Resposta

6 * [((root(6)(t))^7)/(7) - (( root(6)(t) )^5)/(5) + (( root(6)(t) )^3)/(3) + (( root(6)(t) )^3)/(3) - root(6)(t) + A r c t a n (root(6)(t))] + C

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