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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 74

Calcule a integral definida, se ela existir.

int (d x)/(e^x - e^(- x))

Passo 1

Para resolver essa integral vamos utilizar uma substituição bem sagaz que vai simplificar bastante nossa vida que é a seguinte

u = e^x -> x = ln ( u ) -> d x = (d u)/(u)

Assim, nossa integral pode ser reescrita como sendo

int (e^x d x)/(e^(2 x) - 1) = int (u)/(u^2 - 1) * (d u)/(u) = int (d u)/(u^2 - 1)

Essa integral é resolvida por frações parciais onde

(1)/(u^2 - 1) = (1)/((u - 1) * (u + 1)) ( i )

Passo 2

Queremos reescrever a função de uma forma diferente dada por

(a)/(u - 1) + (b)/(u + 1) = ((a + b) * u + ( a - b ))/((u - 1) * (u + 1)) ( i i )

Comparando-se ( i ) com ( i i ) vamos ter

{(a + b = 0)/(a - b = 1))

Resolvendo esse sistema obtemos

a = (1)/(2) e b = - (1)/(2)

Logo, nossa integral pode ser reescrita como

(1)/(2) * int (1)/(u - 1) - (1)/(u + 1) d u = (1)/(2) * ln ((u - 1)/(u + 1)) + C

Passo 3

Retornando para a variável x de origem vamos ter

(1)/(2) * ln |((u - 1)/(u + 1))| + C = (1)/(2) * ln ((|e^x - 1|)/(e^x + 1)) + C

Resposta

(1)/(2) * ln ((e^x - 1)/(e^x + 1)) + C

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