Calcule a integral definida, se ela existir.

∫ d x e x - e - x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos utilizar uma substituição bem sagaz que vai simplificar bastante nossa vida que é a seguinte

u = e x → x = ln ⁡ ( u ) → d x = d u u

Assim, nossa integral pode ser reescrita como sendo

∫ e x   d x e 2 x - 1 = ∫ u u 2 - 1 ⋅ d u u = ∫ d u u 2 - 1

Essa integral é resolvida por frações parciais onde

1 u 2 - 1 = 1 u - 1 ⋅ u + 1     ( i )

Passo 2

Queremos reescrever a função de uma forma diferente dada por

a u - 1 + b u + 1 = a + b ⋅ u + ( a - b ) u - 1 ⋅ u + 1     ( i i )

Comparando-se ( i ) com ( i i ) vamos ter

a + b = 0 a - b = 1

Resolvendo esse sistema obtemos

a = 1 2   e   b = - 1 2

Logo, nossa integral pode ser reescrita como

1 2 ⋅ ∫ 1 u - 1 - 1 u + 1 d u = 1 2 ⋅ ln ⁡ u - 1 u + 1 + C

Passo 3

Retornando para a variável x de origem vamos ter

1 2 ⋅ ln ⁡ u - 1 u + 1 + C = 1 2 ⋅ ln ⁡ e x - 1 e x + 1 + C

Resposta

1 2 ⋅ ln ⁡ e x - 1 e x + 1 + C

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