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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 32

Calcule a integral.

int_0^1 (x)/(x^2 + 4 x + 13) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral e para isso vamos usar a técnica das frações parciais. Note que o termo no denominador é irredutível pois b^2 - 4 a c = 4^2 - 4 * 1 * 13 = 16 - 52 < 0 . Portanto neste exemplo não precisamos aplicar a decomposição em fatores típica das frações parciais.

O primeiro passo é completar o quadrado do denominador:

x^2 + 4 x + 13 = x^2 + 4 x + 4 + 13 - 4 = (x + 2)^2 + 9

Assim,

int_0^1 (x)/(x^2 + 4 x + 13) d x = int_0^1 (x)/((x + 2)^2 + 9) d x

Agora vamos fazer a mudança de variável u = x + 2 => d u = d x . Como se trata de uma integral definida, não podemos esquecer de mudar os limites: x = 0 => u = 2 e para x = 1 => u = 3 . Assim,

int_0^1 (x)/((x + 2)^2 + 9) d x = int_2^3 (u - 2)/(u^2 + 9) d u

Passo 2

Podemos separar essa integral em duas partes:

int_2^3 (u - 2)/(u^2 + 9) d u = int_2^3 (u)/(u^2 + 9) d u - 2 int_2^3 (1)/(u^2 + 9) d u

A primitiva de (u)/(u^2 + 9) é (1)/(2) ln ( u^2 + 9 ) ; já a primitiva de (1)/(u^2 + 9) é (1)/(3) a r c t g ((u)/(3)) . Assim,

int_2^3 (u - 2)/(u^2 + 9) d u = [(1)/(2) ln (u^2 + 9) - (2)/(3) a r c t g ((u)/(3))]_2^3

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

int_0^1 (x)/(x^2 + 4 x + 13) d x = (1)/(2) ln 18 - (2)/(3) a r c t g 1 - (1)/(2) ln 13 + (2)/(3) a r c t g (2)/(3)

Assim,

int_0^1 (x)/(x^2 + 4 x + 13) d x = (1)/(2) ln ((18)/(13)) + (2)/(3) (a r c t g (2)/(3) - (pi)/(4))

Resposta

(1)/(2) ln ((18)/(13)) + (2)/(3) (a r c t g (2)/(3) - (pi)/(4))

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