Calcule a integral.

∫ 0 1 x x 2 + 4 x + 13 d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral e para isso vamos usar a técnica das frações parciais. Note que o termo no denominador é irredutível pois b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 13 = 16 - 52 < 0 . Portanto neste exemplo não precisamos aplicar a decomposição em fatores típica das frações parciais.

O primeiro passo é completar o quadrado do denominador:

x 2 + 4 x + 13 = x 2 + 4 x + 4 + 13 - 4 = x + 2 2 + 9

Assim,

∫ 0 1 x x 2 + 4 x + 13 d x = ∫ 0 1 x x + 2 2 + 9 d x

Agora vamos fazer a mudança de variável u = x + 2 ⇒ d u = d x . Como se trata de uma integral definida, não podemos esquecer de mudar os limites: x = 0 ⇒ u = 2 e para x = 1 ⇒ u = 3 . Assim,

∫ 0 1 x x + 2 2 + 9 d x = ∫ 2 3 u - 2 u 2 + 9 d u

Passo 2

Podemos separar essa integral em duas partes:

∫ 2 3 u - 2 u 2 + 9 d u = ∫ 2 3 u u 2 + 9 d u - 2 ∫ 2 3 1 u 2 + 9 d u

A primitiva de u u 2 + 9 é 1 2 ln ⁡ ( u 2 + 9 ) ; já a primitiva de 1 u 2 + 9 é 1 3 a r c t g u 3 . Assim,

∫ 2 3 u - 2 u 2 + 9 d u = 1 2 ln ⁡ u 2 + 9 - 2 3 a r c t g u 3 2 3

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 1 x x 2 + 4 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ 18 - 2 3 a r c t g   1 - 1 2 ln ⁡ 13 + 2 3 a r c t g 2 3

Assim,

∫ 0 1 x x 2 + 4 x + 13 d x = 1 2 ln ⁡ 18 13 + 2 3 a r c t g 2 3 - π 4

Resposta

1 2 ln ⁡ 18 13 + 2 3 a r c t g 2 3 - π 4

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