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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 40

Calcule a integral

int csc^4 (x) cot^6 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot^2 ( alpha ) + 1 = csc^2 ( alpha ) .

Então, substituindo

int csc^4 (x) cot^6 (x) d x = int cot^6 (x) csc^2 (x) csc^2 (x) d x = int cot^6 (x) (cot^2 (x) + 1) csc^2 ( x ) d x

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o t ( x ) , temos que d u = - csc^2 (x) d x , então, substituindo

int cot^6 (x) (cot^2 (x) + 1) csc^2 (x) d x = int u^6 (u^2 + 1) (- d u) = int (- u^8 - u^6) d u = - (1)/(9) u^9 - (1)/(7) u^7 + c = - (1)/(9) cot^9 (x) - (1)/(7) cot^7 (x) + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int csc^4 (x) cot^6 (x) d x = - (1)/(9) cot^9 (x) - (1)/(7) cot^7 (x) + c

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