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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 57

Calcule a integral definida.

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t

Parece complicado?

Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função f x em um intervalo a , b , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função f ...

  • Se f for contínua e definida em todo o intervalo a , b , podemos seguir para o cálculo da integral.
  • Mas se f tiver uma singularidade (uma indefinição) em um ponto x = c , que pertence ao intervalo a , b podemos afirmar que a integral de f diverge.

Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil. Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Substituir os limites de integração de x em u para obter os limites de integração em u .
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então temos que fazer várias questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t

E nossa função de integração é dada por:

f t = sin ⁡ t cos 2 ⁡ t

Sabemos que a função seno é contínua e definida para todos os valores de t . Então a única possibilidade de ter uma indefinição em f t é se o denominador for igual a 0 , ou seja:

cos ⁡ t = 0

Mas isso acontece em múltiplos de π 2 que estão fora do nosso intervalo de integração 0 , π 6 . Logo, podemos afirmar que f t é integrável no intervalo 0 , π 6 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para aplicar o método de substituição, podemos chamar cos ⁡ t de u .

u = cos ⁡ t

Derivando e isolando d t em um lado da igualdade:

d u d t = - sin ⁡ t → d t = - 1 sin ⁡ t d u

Não podemos esquecer de substituir também os limites de integração...

Quando t = 0 .

u = cos ⁡ 0 = 1

Quando t = π 6 .

u = cos ⁡ π 6 = 3 2

Agora sim... substituindo u , d t e os limites de integração na nossa integral, vamos obter:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t → ∫ 1 3 2 sin ⁡ t u 2 - 1 sin ⁡ t d u

Simplificando nossa integral...

- ∫ 1 3 2 u - 2 d u

Bacana, não é?

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos aplicar a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

No nosso caso, fica...

- ∫ u - 2 d u = - u - 2 + 1 - 2 + 1 + C

- ∫ u - 2 d u = 1 u + C

Aplicando os limites de integração, temos:

- ∫ 1 3 2 u - 2 d u = 1 3 2 + C - 1 1 + C

- ∫ 1 3 2 u - 2 d u = 2 3 - 1

Portanto, voltando para a integral do enunciado:

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t = 2 3 - 1

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 π / 6 sin ⁡ t cos 2 ⁡ t d t = 2 3 - 1

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