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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 10

Calcule a integral definida

int_0^(sqrt(5)) t sqrt(t^2 + 1) d t

Passo 1

E ai pessoal, vamos dar uma relembrada em algumas propriedades de integral antes de começarmos o exercício:

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_a^b x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Bem se você tem acompanhado essa serie de resoluções então já percebeu que essa integral não tem nada de mais.

Não precisa nem gastar muito tempo pensando . Vamos apelar para a substituição.

Substitua a parte que é mais difícil de ser mexida, então vamos mudar o argumento da raiz quadrada.

int_0^(sqrt(5)) t sqrt(t^2 + 1) d t

u = t^2 + 1 ,

d u = 2 t d t -> (d u)/(2) = t d t

Vamos agora alterar os limites de integração.

u = t^2 + 1

Se t = 0 , u = 1

Se t = sqrt(5) , u = 6

Entao

int_0^(sqrt(5)) t sqrt(t^2 + 1) d t

fica

int_1^6 (sqrt(u))/(2) d u

Viu que agora ficou bem mais fácil ? :D

Passo 3

Assim a integração fica :

((1)/(2) . (2)/(3) u^((3)/(2))|_1^6

= (1)/(3) (6^((3)/(2)) - 1^((3)/(2)))

Essa expressão não tem como simplificar mais. Então acabamos por aqui. \o/

Resposta

int_0^(sqrt(5)) t sqrt(t^2 + 1) d t = (1)/(3) (6^((3)/(2)) - 1)

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