Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 59
Calcule a integral definida.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:
Parece complicado?
Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função em um intervalo , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função ...
- Se for contínua e definida em todo o intervalo , podemos seguir para o cálculo da integral.
- Mas se tiver uma singularidade (uma indefinição) em um ponto , que pertence ao intervalo podemos afirmar que a integral de diverge.
Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil. Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então temos que fazer várias questões pra ficarmos craques!
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração, é:
Analisando a função , vemos que ela tem uma indefinição apenas em , pois é quando o seu denominador zera assim como o expoente de .
Mas como não está incluído no intervalo de integração , podemos afirmar que é integrável no nosso intervalo de integração.
Bora continuar!
Passo 3
Para facilitar o cálculo da nossa integral, vamos usar o expoente de como .
Derivando e isolando em um lado da igualdade:
Temos que substituir os limites de integração:
Quando .
Quando .
Com isso, substituindo , e os limites de integração na nossa integral, vamos obter:
Simplificando ...
Como o limite superior é menor que o limite inferior, vamos inverter esse limite multiplicando a função de integração por .
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos lembrar do Teorema Fundamental.
Ou seja:
Aplicando os limites de integração.
Portanto... voltando para a integral do enunciado:
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!