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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 68

  1. Calcule a integral ∫ 5 x - 1 2 d x por dois métodos: primeiro elevando ao quadrado e integrando e depois fazendo u = 5 x - 1 .
  2. Explique por que as duas respostas aparentemente diferentes são equivalentes.

Passo 1

  1. Vamos elevar ao quadrado primeiro. Vai ficar:

    2. ∫ 25 x 2 - 10 x + 1   d x

    Agora a gente integra:

    = 25 x 3 3 - 10 x 2 2 + x + C

    = 25 x 3 3 - 5 x 2 + x + C

    Beleza, aqui já foi!

    Passo 2

    Vamos para a substituição u = 5 x - 1   agora. Teremos d u =   5   d x . Montando a integral:

    1 5 ∫ u 2   d u

    Integrando em u :

    1 5 u 3 3 + K

    Voltando para x :

    5 x - 1 3 15 + K

    Prontinho!

    Passo 3

  2. A pergunta agora é: por que essas duas são iguais?

Olha só, se a gente expandir o resultado da segunda integral, a gente fica com:

125 x 3 15 - 75 x 2 15 + 15 x 15 - 1 15

= 25 x 3 3 - 5 x 2 + x - 1 15 + K

Ou seja, pra elas serem iguais a gente só precisa que:

C =   - 1 15 + K

Como não tem restrição nenhuma para essas constantes, a gente conclui que isso pode acontecer sem problemas, logo elas são equivalentes😉

Resposta

a )   25 x 3 3 - 5 x 2 + x + C   e 5 x - 1 3 15 + K

b) elas diferem por uma constante.

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f) ∫ c o s s e c n x c o s s e c x c o t g x d x = - c o s s e c n + 1 x n + 1 + k ,n ≠ - 1 ⋅
No exercício a seguir calcule a integral definida. ∫ 16 18 1 x- x 3 4
Calcule a integral indefinida: ∫ d x 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 3
Calcule a integral indefinida: ∫ d x cotg ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x )
Calcule a integral indefinida: ∫ d x sen ⁡ x - tan ⁡ x