Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 4b
Calcule a integral dupla em quando .
Passo 1
Já que no item anterior deste exercício encontramos uma forma de representar as duas integrais duplas em apenas uma, vamos aproveitar o resultado encontrado:
Para facilitar a nossa vida e não ter que calcular duas integrais diferentes hehe.
Passo 2
Assim, se substituirmos a função que o exercício nos deu na integral, teremos que calcular a integral:
Como é considerada como constante na integral interna, podemos reescrever:
Passo 3
Logo, resolvendo a primeira integral, obtemos:
E substituindo o limite de integração nos dá:
Vamos expandir os trinômios quadrados perfeitos:
No entanto, quando juntamos os termos semelhantes obtemos:
Tal que:
E, portanto, nossa integral resulta em zero.
Resposta
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Transforme a soma das integrais duplas ∫ - 1 0 ∫ - x + 1 x + 1 f x ,y d y d x + ∫ 0 1 ∫ - 1 - x 1 - x f x ,y d y d x Em uma única integral dupla numa região D conveniente.
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