Calcule a integral dupla em D quando f(x, y) = xy .

Passo 1

Já que no item anterior deste exercício encontramos uma forma de representar as duas integrais duplas em apenas uma, vamos aproveitar o resultado encontrado:

∫ - 1 1 ∫ y 2 - 1 1 - y 2 f x ,   y d x d y

Para facilitar a nossa vida e não ter que calcular duas integrais diferentes hehe.

Passo 2

Assim, se substituirmos a função f x ,   y = x y que o exercício nos deu na integral, teremos que calcular a integral:

∫ - 1 1 ∫ y 2 - 1 1 - y 2 x y d x d y

Como y é considerada como constante na integral interna, podemos reescrever:

⇒ ∫ - 1 1 y ∫ y 2 - 1 1 - y 2 x d y d x

Passo 3

Logo, resolvendo a primeira integral, obtemos:

∫ - 1 1 y ∫ y 2 - 1 1 - y 2 x d x d y = ∫ - 1 1 y x 2 2 | 1 - y 2 y 2 - 1 d y

E substituindo o limite de integração nos dá:

∫ - 1 1 y x 2 2 | 1 - y 2 y 2 - 1 d y = 1 2 ∫ - 1 1 y 1 - y 2 2 - y 2 - 1 2 d y

Vamos expandir os trinômios quadrados perfeitos:

⇒ 1 2 ∫ - 1 1 y 1 - 2 y 2 + y 4 - y 4 - 2 y 2 + 1 d y

No entanto, quando juntamos os termos semelhantes obtemos:

1 2 ∫ - 1 1 y y 4 - y 4 + 2 y 2 - 2 y 2 + 1 - 1 d y

Tal que:

⇒ 1 2 ∫ - 1 1 y 0 d y = 1 2 ∫ - 1 1 0 d y = 0

E, portanto, nossa integral resulta em zero.

Resposta

∫ - 1 1 ∫ y 2 - 1 1 - y 2 f x ,   y d x d y = 0

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