Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 3b

Calcule as integrais, para as regiões D indicadas.

(b) int int_D cos (y^3) d x d y ; D l i m i t a d a p o r y = sqrt(x) , y = 2 e x = 0

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Como no nosso caso temos uma região do tipo 1 em que a região é contínua em x e possui y limitada por funções de x , temos que aplicar a inversão da ordem de integração do Teorema de Fubini e transformar a região no tipo 2, em que ela seja contínua em y e x seja limitada por funções de y . Pra isso, podemos desenhar o gráfico da região e determinar os intervalos desejados.

Agora, vamos lembrar do Teorema de Fubini (que pode ser encontrado no livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (página 1 61 )) que diz que se a função z = f (x , y) for contínua em um retângulo R = [a , b] xx [c , d] , então:

int int_R f (x , y) d x d y = int_a^b [int_c^d f (x , y) d y] d x = int_c^d [int_a^b f (x , y) d x] d y

Para regiões não retangulares, a diferença é que apenas uma das integrais terá constantes no seu limite de integração, enquanto a outra integral terá funções no limite de integração. Isso é mostrado em:

int int_R f (x , y) d x d y = int_a^b [int_(c (x))^(d (x)) f (x , y) d y] d x = int_c^d [int_(a (y))^(b (y)) f (x , y) d x] d y

Passo 2

Então, como queremos saber o intervalo de x vamos esboçar o gráfico dessa região. Temos que:

Podemos ver que os intervalos serão dados por:

0 <= y <= 2

E, para x , podemos transformar a equação da curva:

y = sqrt(x) -> x = y^2

Tal que:

0 <= x <= y^2

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever:

int_0^2 int_0^(y^2) cos (y^3) d x d y = int_0^2 cos (y^3) int_0^(y^2) d x d y

Então, resolvendo a integral interna:

int_0^2 cos (y^3) int_0^(y^2) d x d y = int_0^2 cos (y^3) [x] | [[y^2],[0]] d y

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

=> int_0^2 cos (y^3) [y^2 - 0] d y

O que resulta em:

=> int_0^2 y^2 cos (y^3) d y

Passo 4

Logo, podemos resolver essa integral pelo método da substituição simples usando u = y^3 e d u = 3 y^2 d x , tal que:

Quando y = 0 -> u = 0 ;

Quando y = 2 -> u = 8

Dessa forma:

int_0^2 y^2 cos (y^3) d y = int_0^8 cos (u) ((d u)/(3))

Ou seja:

=> (1)/(3) int_0^8 cos (u) d u = (1)/(3) [s e n u] | | [[8],[0]]

E substituindo o intervalo de integração:

=> (1)/(3) (s e n 8 - s e n 0) = (1)/(3) s e n (8)

Resposta

(1)/(3) s e n (8)

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