Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Calcule o volume do sólido, no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y 2 , x = y 2 + 1 e x = - y 2 + 9 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Sabemos que a integral dupla representa geometricamente o volume de uma região no espaço. Chamando essa região de D , matematicamente, o seu volume será dado por:

V = ∫ ∫ D f x ,   y d x d y

O que precisamos saber para fazer o cálculo é a função z = f x ,   y e se a região é do tipo 1 (contínua em x e com y limitada entre funções de x ) ou do tipo 2 (contínua em y e com x limitada entre funções de y ).

Assim, com as curvas dadas no enunciado, podemos determinar os limites de integração e a função z que representa a região.

Passo 2

Como o exercício já nos dá a função z , sabemos que:

f x ,   y = z = 1 - y 2

Além disso, nós temos x definida como funções de y , o que mostra que a região é do tipo 2 . Para sabermos qual equação de x é o limite superior e qual é o limite inferior da integração, vamos esboçar ambas essas equações e fazer essa análise.

Logo, o esboço é:

Mas como queremos apenas a parte do primeiro octante, temos que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 , ou seja, a região de interesse é:

E, então, x será dado como:

y 2 + 1 ≤ x ≤ - y 2 + 9

E para y :

0 ≤ y ≤ 2

Passo 3

No entanto, se formos esboçar a curva z = 1 - y 2 no plano y z :

Para o primeiro octante (onde y ≥ 0 e z ≥ 0 ) o valor de y é limitado por:

0 ≤ y ≤ 1

Com isso, o volume pode ser dado:

V = ∫ 0 1 ∫ y 2 + 1 - y 2 + 9 1 - y 2 d x d y = ∫ 0 1 1 - y 2 ∫ y 2 + 1 - y 2 + 9 d x d y

Passo 4

Então, resolvendo a integral interna:

V = ∫ 0 1 1 - y 2 ∫ y 2 + 1 - y 2 + 9 d x d y = ∫ 0 1 1 - y 2 x | - y 2 + 9 y 2 + 1 d y

E substituindo os intervalos de integração, temos:

V = ∫ 0 1 1 - y 2 - y 2 + 9 - y 2 + 1 d y

⇒ V = ∫ 0 1 1 - y 2 - 2 y 2 + 8 d y

Ou seja:

V = ∫ 0 1 2 y 4 - 10 y 2 + 8 d y

Passo 5

E a última integral resultará em:

V = ∫ 0 1 2 y 4 - 10 y 2 + 8 d y = 2 y 5 5 - 10 y 3 3 + 8 y | 1 0

Substituindo os limites de integração:

V = 2 5 - 10 3 + 8 - 0 =

Portanto, encontrando o MMC:

V = 6 - 50 + 120 15 = 76 15

Resposta

V = 76 15

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Determine a área da superfície.A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.
Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .