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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 12a

Calcule a integral dupla

int int_D (d x d y)/((p^2 + x^2 + y^2)^p)

Onde: D = {(x , y) in R^2| x^2 + y^2 <= a^2 } .

Passo 1

Bom galera, pra resolvermos essa integral a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio r e ângulo theta ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:

int int_D f (x , y) d x d y

= int int_Q g (r , theta) |(del (x , y))/(del (r , theta))| d r d theta

Onde temos que:

r^2 = x^2 + y^2

x = r cos theta

y = r sin theta

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

|(del (x , y))/(del (r , theta))| = det |[[(del x)/(del r),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del r),(del y)/(del theta)]]|

Então, colocamos os valores:

det |[[cos theta,-,r,sin theta],[sin theta,r,cos theta]]| = r

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:

f (x , y) = (1)/((p^2 + x^2 + y^2)^p)

Onde já sabemos:

r^2 = x^2 + y^2

Então fica:

g (r , theta) = (1)/((p^2 + r^2)^p)

Passo 4

Show de bolinhas, precisamos ainda da nossa região de integral, a questão nos deu a região D :

D = {(x , y) in R^2| x^2 + y^2 <= a^2 }

Para a região Q a gente pode simplesmente substituir:

r^2 = x^2 + y^2

E ficamos com:

Q = {(x , y) in R^2| r^2 <= a^2 }

Ou seja, ficamos com:

0 <= r <= a

Porque não tínhamos nada limitando inferiormente, e como não temos nada limitando radialmente, a gente pega o ângulo completo para o theta :

0 <= theta <= 2 pi

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = int int_Q g (r , theta) |(del (x , y))/(del (r , theta))| d r d theta

-> A = int_0^(2 pi) int_0^a ((1)/((p^2 + r^2)^p)) (r) d r d theta

-> A = int_0^(2 pi) int_0^a (r)/((p^2 + r^2)^p) d r d theta

Integramos a primeira vez:

A = int_0^(2 pi) [((p^2 + r^2)^(1 - p))/(2 (1 - p))]_0^a d theta

= int_0^(2 pi) [(((p^2 + (a)^2)^(1 - p))/(2 (1 - p))) - (((p^2 + (0)^2)^(1 - p))/(2 (1 - p)))] d theta

= int_0^(2 pi) [((p^2 + a^2)^(1 - p) - (p^2)^(1 - p))/(2 (1 - p))] d theta

E integramos denovo:

A = [((p^2 + a^2)^(1 - p) - (p^2)^(1 - p))/(2 (1 - p)) ( theta )]_0^(2 pi)

= ((p^2 + a^2)^(1 - p) - (p^2)^(1 - p))/(2 (1 - p)) (2 pi)

= ((p^2 + a^2)^(1 - p) - (p^2)^(1 - p))/((1 - p)) pi

Agora tenho só um lembretezinho, o denominador de uma fração não pode ser 0 , então a gente sabe que:

p != 1

E prontinho. 😊

Resposta

((p^2 + a^2)^(1 - p) - (p^2)^(1 - p))/((1 - p)) pi : p != 1

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