Calcule a integral dupla

∫ ∫ D d x d y p 2 + x 2 + y 2 p

Onde: D = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ a^2} .

Passo 1

Bom galera, pra resolvermos essa integral a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio r e ângulo θ ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:

f x , y = 1 p 2 + x 2 + y 2 p

Onde já sabemos:

r 2 = x 2 + y 2

Então fica:

g r , θ = 1 p 2 + r 2 p

Passo 4

Show de bolinhas, precisamos ainda da nossa região de integral, a questão nos deu a região D :

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ a 2 }

Para a região Q a gente pode simplesmente substituir:

r 2 = x 2 + y 2

E ficamos com:

Q = x , y ∈ R 2 r 2 ≤ a 2 }

Ou seja, ficamos com:

0 ≤ r ≤ a

Porque não tínhamos nada limitando inferiormente, e como não temos nada limitando radialmente, a gente pega o ângulo completo para o θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 1 p 2 + r 2 p r   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r p 2 + r 2 p   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 π p 2 + r 2 1 - p 2 1 - p 0 a d θ

= ∫ 0 2 π p 2 + a 2 1 - p 2 1 - p - p 2 + 0 2 1 - p 2 1 - p d θ

= ∫ 0 2 π p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p d θ

E integramos denovo:

A = p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p ( θ ) 0 2 π

= p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p 2 π

= p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Agora tenho só um lembretezinho, o denominador de uma fração não pode ser 0 , então a gente sabe que:

p ≠ 1

E prontinho. 😊

Resposta

p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π   : p ≠ 1

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