Se , seja .
Calcule as integrais sobre e , e use para mostrar que tende para quando tende para . Isto prova que .
Passo 1
Olá, meu querido amigo, tudo bem?
Vou te ajudar a resolver essa atividade, tá animado?
Iremos aqui dar continuidade a resolução, lembre-se que .
Na letra b) foi estabelecida a desigualdade:
Onde:
- disco de raio inscrito no quadrado
- : disco de raio circunscrito a
Para isso teremos que calcular então essas duas integrais.
Bom galera, pra resolvermos isso a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio e ângulo ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:
Onde temos que:
Passo 2
Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:
Então, colocamos os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:
Onde já sabemos:
Então fica:
Passo 4
Transformando então para coordenadas polares, teremos:
A parte interna:
Substituindo:
Teremos:
A parte externa:
Logo:
Passo 5
Agora para a segunda região:
A parte interna:
Substituindo:
Teremos:
A parte externa:
Logo:
Passo 6
Pelo item b):
Agora, tomamos o limite quando :
- , então:
E:
Logo:
E prontinho. 😊
Resposta
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