Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 13c
Se , seja .
Calcule as integrais sobre e , e use para mostrar que tende para quando tende para . Isto prova que .
Passo 1
Bom galera, pra resolvermos isso a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio e ângulo ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:
Onde temos que:
Passo 2
Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:
Então, colocamos os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:
Onde já sabemos:
Então fica:
Passo 4
Show de bolinhas, precisamos ainda da nossa região de integral, a questão nos deu a região :
Para a região a gente pode simplesmente substituir:
E ficamos com:
Ou seja, ficamos com:
Porque não tínhamos nada limitando inferiormente, e como não temos nada limitando radialmente, a gente pega o ângulo completo para o :
Passo 5
Por fim, montamos as integrais e calculamos:
Integramos a primeira vez:
E integramos denovo:
Agora tenho só um lembretezinho, o denominador de uma fração não pode ser , então a gente sabe que:
E prontinho. 😊