Se a > 0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .

Calcule as integrais sobre B_1 e B_2 , e use b) para mostrar que I(a) tende para raiz(pi) quando a tende para + infinito . Isto prova que ∫ 0 + ∞ e - u 2 d u = π 2 .

Passo 1

Olá, meu querido amigo, tudo bem?

Vou te ajudar a resolver essa atividade, tá animado?

Iremos aqui dar continuidade a resolução, lembre-se que D = - a , a × - a , a .

Na letra b) foi estabelecida a desigualdade:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y

Onde:

  • B 1 : disco de raio a inscrito no quadrado D
  • B 2 : disco de raio a 2 circunscrito a D

Para isso teremos que calcular então essas duas integrais.

Bom galera, pra resolvermos isso a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio r e ângulo θ ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:

f x , y = e - x 2 + y 2

Onde já sabemos:

r 2 = x 2 + y 2

Então fica:

g r , θ = e - r 2

Passo 4

Transformando então para coordenadas polares, teremos:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 a e - r 2 r d r d θ

A parte interna:

∫ 0 a e - r 2 r d r

Substituindo:

u = r 2

d u = 2 r d r

Teremos:

1 2 ∫ 0 a 2 e - u d u = 1 2 1 - e - a 2

A parte externa:

∫ 0 2 π d θ = 2 π

Logo:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y = 2 π ⋅ 1 2 1 - e - a 2 = π 1 - e - a 2

Passo 5

Agora para a segunda região:

∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 e - r 2 r d r d θ

A parte interna:

∫ 0 a 2 e - r 2 r d r

Substituindo:

u = r 2

d u = 2 r d r

Teremos:

1 2 ∫ 0 2 a 2 e - u d u = 1 2 1 - e - 2 a 2

A parte externa:

∫ 0 2 π d θ = 2 π

Logo:

∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y = 2 π ⋅ 1 2 1 - e - 2 a 2 = π 1 - e - 2 a 2

Passo 6

Pelo item b):

π 1 - e - a 2 ≤ I 2 a ≤ π 1 - e - 2 a 2

Agora, tomamos o limite quando a → ∞ :

  • e - a 2 → 0 , então:

π 1 - e - a 2 → π

E:

π 1 - e - 2 a 2 → π

π → I 2 a → π

Logo:

lim a → ∞ ⁡ I a = π

∫ ∞ ∞ e - u 2 d u = u

�� 0 ∞ e - u 2 d u = π 2

E prontinho. 😊

Resposta

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