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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 13c

Se a > 0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .

Calcule as integrais sobre B 1 e B 2 , e use b ) para mostrar que I a tende para π quando a tende para + ∞ . Isto prova que ∫ 0 + ∞ e - u 2 d u = π 2 .

Passo 1

Bom galera, pra resolvermos isso a gente vai precisar mudar de variável para as variáveis polares (aquelas com raio r e ângulo θ ), pra isso a gente usa aquela formulinha geral:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a nossa função na nova variável:

f x , y = e - x 2 + y 2

Onde já sabemos:

r 2 = x 2 + y 2

Então fica:

g r , θ = e - r 2

Passo 4

Show de bolinhas, precisamos ainda da nossa região de integral, a questão nos deu a região D :

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ a 2 }

Para a região Q a gente pode simplesmente substituir:

r 2 = x 2 + y 2

E ficamos com:

Q = x , y ∈ R 2 r 2 ≤ a 2 }

Ou seja, ficamos com:

0 ≤ r ≤ a

Porque não tínhamos nada limitando inferiormente, e como não temos nada limitando radialmente, a gente pega o ângulo completo para o θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 1 p 2 + r 2 p r   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r p 2 + r 2 p   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 π p 2 + r 2 1 - p 2 1 - p 0 a d θ

= ∫ 0 2 π p 2 + a 2 1 - p 2 1 - p - p 2 + 0 2 1 - p 2 1 - p d θ

= ∫ 0 2 π p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p d θ

E integramos denovo:

A = p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p ( θ ) 0 2 π

= p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 2 1 - p 2 π

= p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Agora tenho só um lembretezinho, o denominador de uma fração não pode ser 0 , então a gente sabe que:

p ≠ 1

E prontinho. 😊

Resposta

p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π   : p ≠ 1

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Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é o sólido acima do plano x y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 .
Determine o volume dos sólidos W abaixo.W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 25 e x^2 + y^2 = 9}
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o sθ .