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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 10a

Determine o volume dos sólidos W abaixo.

W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar identificando as superfícies formadas pelas equações que a questão nos deu:

z = x 2 + y 2 → P a r a b o l ó i d e

x 2 + y 2 = 4 → C i l i n d r o

x 2 + y 2 = 9 →   C i l i n d r o

z = 10 → P l a n o

Percebe que tem dois cilindros? Pois a gente já tem delimitado que o nosso sólido ficará entre esses cilindros, então:

4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

E assim nosso sólido terá como limite inferior a função:

z = x 2 + y 2

E o limite superior quando z = 10 .

Logo a função que precisamos integrar será:

f x , y = 10 - x 2 + y 2

Passo 2

Belezinha, agora a gente deve fazer uma mudança de variável para a váriavel polar, aquela que ao invés de usarmos x e y usamos um raio r e um ângulo θ , essa mudança de variavel é com aquela formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, encontramos a nossa função na nova variável:

f x , y = 10 - x 2 + y 2

Nas novas variáveis fica:

→ g r , θ = 10 - r 2

Passo 4

Show de bolinhas, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 5

Então, pegamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

E a gente tem a equação:

x 2 + y 2 = r 2

Então nossa região em Q fica:

4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

→ 4 ≤ r 2 ≤ 9

→ 2 ≤ r ≤ 3

Quanto a θ , nosso solido não tem nada que corte nosso cilindro transversalmente, ou seja eles tem a circunferência completa, logo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 6

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ ∫ Q g r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 10 - r 2 r   d r d θ

→ A = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 10 r - r 3   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 π 10 r 2 2 - r 4 4 2 3 d θ

= ∫ 0 2 π 5 r 2 - r 4 4 2 3 d θ

= ∫ 0 2 π 5 3 2 - 3 4 4 - 5 2 2 - 2 4 4 d θ

= ∫ 0 2 π 45 - 81 4 - 20 - 4 d θ

= ∫ 0 2 π 35 4 d θ

E integramos denovo:

A = 35 4 θ 0 2 π

= 35 4 2 π - 35 4 0

= 35 2 π

E prontinho. 😊

Resposta

A = 35 2 π

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Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região por x + y = 4 , x + y = 0 , y - x = 0 e y - x = - 1 .
Considere a transformação x , y =φ θ ,ρ dada por x = ρ cos ⁡ θ e y = ρ s e nθ . Desenhe o conjunto ϕ ( B ) onde B é o retângulo 1 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡
Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais: ∫ ∫ D d xd y 1 + x 2 + y 2 2 , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 }
Determine a parea da lemniscata x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9