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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 11

Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , onde

D = {(x , y) in R^2,1 <= (x - y)^2 <= 4 , y <= 0 e x + y >= 0}

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

int int_D f (x , y) d x d y

= int int_Q f (x (u , v) , y (u , v)) |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Onde usaremos:

u = x + y

v = x - y

Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

|(del (x , y))/(del (u , v))| = det |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]|

Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:

(1)/(|(del (x , y))/(del (u , v))|) = |(del (u , v))/(del (x , y))| = det |[[(del u)/(del x),(del u)/(del y)],[(del v)/(del x),(del v)/(del y)]]|

Então, colocamos os valores:

det |[[(del u)/(del x),(del u)/(del y)],[(del v)/(del x),(del v)/(del y)]]| = det |[[1,1],[1,-,1]]| = - 2

Logo usaremos o inverso disso:

|(del (x , y))/(del (u , v))| = - (1)/(2)

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = int int_Q ((e^((u)/(v)))/(v^2)) * (- (1)/(2)) d u d v

A = - (1)/(2) int int_Q (e^((u)/(v)))/(v^2) d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

1 <= (x - y)^2 <= 4

y <= 0

x + y >= 0

E a gente tem as equações:

u = x + y

v = x - y

Então nossa região em Q fica:

1 <= v^2 + u^2 <= 4

0 <= u <= v

Tá vendo esse v^2 + u^2 , com isso a gente percebe que parece uma boa mudar pra váriavel polar.

Passo 5

Para mudarmos para variável polar a gente usa formulinha:

int int_D f (u , v) d x d y

= int int_Q g (r , theta) |(del (u , v))/(del (r , theta))| d u d v

Onde usaremos:

x = r cos theta

v = r

Fazemos parecido com os passos anteriores, assim ficamos com:

- (1)/(2) int int_R (e^(cot theta))/(r^2 sin^2 theta) r d theta d r

= - (1)/(2) int int_R (e^(cot theta))/(r sin^2 theta) d theta d r

Onde a região R fica:

1 <= r <= 2

(pi)/(4) <= theta < (pi)/(2)

Passo 6

Por fim, monstamos a integral e resolvemos:

int_1^2 int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (e^(cot theta))/(r sin^2 theta) d theta d r

= int_1^2 [(e^(cot theta))/(r)]_((pi)/(4))^((pi)/(2)) d r = int_1^2 (1 - e)/(r) d r

Integramos denovo:

- (1)/(2) [ln r - e ln r]_1^2

= - (1)/(2) (ln 2 - e ln 2 - ln 1 + e ln 1)

= (ln 2)/(2) (e - 1)

E prontinho. 😊

Resposta

(ln 2)/(2) (e - 1)

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