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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 21

Calcule a integral dupla.

∬ D ( 2 x - y ) d A ,     D   é   d e l i m i t a d a   p e l o   c i r c u l o   c o m   c e n t r o   n a   o r i g e m   e   r a i o   2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão, temos que calcular uma integral que terá seus limites de integral definidos por um círculo qualquer de r = 2 e centrado na origem. O primeiro passo será identificar como escrever matematicamente esse intervalo na integral. Para isso, precisaremos relembrar a equação da circunferência, e então identificar os limites em x e y .

Tranquilo por aqui ne?

Após isso é só colocar os limites na integral e resolvê-la normalmente.

Passo 2

Vamos lembrar a equação geral da circunferência?

x - a 2 + y - b 2 = r 2

Sendo que a e b se referem a distância do centro em relação à origem, como nosso círculo está centrado em 0 . Temos que a equação do círculo é dada por:

x 2 + y 2 = 2 2

x 2 + y 2 = 4

Isolando para y , temos:

y = ± 4 - x 2

Definido como uma região do tipo I , temos que:

D = x , y | - 2 ≤ x ≤ 2 , - 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2

Passo 3

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬ D ( 2 x - y ) d A = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y = 2 x y - y 2 2 - 4 - x 2 4 - x 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y = 2 x 4 - x 2 - - 2 x 4 - x 2 - 4 - x 2 2 2 - - 4 - x 2 2 2

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y = 2 2 x 4 - x 2 - 0

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y = 4 x 4 - x 2

Logo, substituindo, temos:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( 2 x - y ) d y d x = ∫ - 2 2 4 x 4 - x 2 d x

Passo 4

Agora é só resolver:

∫ - 2 2 4 x 4 - x 2 d x

Mas antes de tentar resolver, vamos fazer uma análise bem interessante.

Se f x = 4 x 4 - x 2 , temos que:

f - x = 4 - x 4 - - x 2

f - x = - 4 x 4 - x 2

Logo:

f - x = - f ( x )

Sabendo disso, temos que f x é uma função impar e, portanto, o valor de sua integral é zero.

Logo:

∫ - 2 2 4 x 4 - x 2 d x = 0

Portanto, nossa integral dupla será:

∬ D ( 2 x - y ) d A = 0

Resposta

∬ D ( 2 x - y ) d A = 0

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